“数学中没有不可知！”（转贴）
来源: 康MM 于 07-01-10 12:55:25

这句话是Hilbert说的，意思是任给一个数学命题，只能有两个可能：这个命题是对的，可以证明，或者这个命题是错的，可以找出反例。做不出来是因为你自己笨，不能怪数学不好。（这个东西还有个专门名字，叫数学的完备性。）

当时所有数学家都是这样认为的，说了类似的话的估计也有不少，但是大家只记住Hilbert了。一个原因当然是因为Hilbert有名，他是当时最有名的数学家，但还有其他原因。Hilbert可不是说说就算了，他很认真地要证明这件事，他要把数学完全公理化：要把全部数学都建立在几条公理上，而且这些公理要满足1)相容性（这些公理之间没有矛盾）；2）完备性（上面提到的）；3）还有一条忘了叫什么性了，是说公理中没有多余的，每一条都不能从其他公理推出。

Hilbert首先做了几何的公理化，他引进了21条公理，整个2维与3维的几何都可以建立在这些公理之上。下一步就是整个数学的公理化了，但是作了很长时间也没做出来，后来来了一个20多岁的小子，叫Godel，给了Hilbert当头一闷棍。

Godel证明了他的不完备性定理：任一个包括所有自然数的公理系统一定是不完备的。他构造了一个命题，既不能被证明，也不能被推翻。我不知道当时老先生是怎么想的，大概连上吊的心都有。

数学家们还没有放弃希望，他们说Godel的命题不过是一个逻辑游戏，真正有数学意义的命题还都是确定的，当然Godel的闷棍也还没有打完，他又向集合论中公认的最难的问题--连续统假设下手了。连续统假设是这样一个问题：全体整数的个数是a，全体实数的个数是c，集合论的创始人Cantor提出的连续统假设说，a与c之间没有其他数了。Hilbert把连续统假设列为他的第一问题，可见其分量。Godel这次作的事是构造了一个数学模型，在其中，连续统假设成立。这一来就麻烦了，我们现在知道了连续统假设不可能是错的，但是由于Godel的不完备定理，没人敢说它是对的，因为毕竟没有证明。

Godel搞的东西太过奇怪，最后终于把自己也绕进去了--他犯了精神病。当时Princeton数学系有两个著名的精神病，一个是Godel，另一个是John Nash。这两个人每天什么事都不做，整天游游逛逛，坐领工资。其实工资是家人领的，他们自己肯定不在乎。

因为Godel犯了精神病，给数学的确定性最后定上棺材板又要等几十年了。这时来了一个家伙叫Cohen。这个家伙也是绝顶聪明，他的本行不是集合论，而是调和分析。当时有一个人（弄不清楚到底是谁）说了一句话，他说Cohen不过有点小聪明，难题是绝对做不出来的。Cohen当然不服气，“你说什么题最难吧，”“连续统假设最难。”“好，就是连续统假设。”于是他就去做连续统假设，一下子还真让他给做出来了：他也构造了一个模型，在其中连续统假设不成立。这一下子，连续统假设真的成了一个Godel意义下的不可判定的问题，既不是对的也不是错的。

这一下子，数学家们可吓呆了，闹了半天，不是我们无能，是共军太狡猾了，问题根本就没有解，你让我们证明什么？等到数学家缓过劲来，就开始走向另一个极端了：凡是做不出来的题，就说这可能没有解。例如有些数学家就很认真地说Fermat大定理可能没有解。当然后来人家做出来了，就不能再说了。但是其他问题还是在说，甚至连Erdos也说角谷猜想（3n+1问题）可能没有解。

当然有很多问题真的就是没有解，甚至我们坛子上出现过的问题。（大家回忆一下，看看谁能想起来？如果都想不起来就看我下一篇文章。）

注：这些大多是多年以前学的，因为后来换了专业，很多都没学完，学完的也忘了很多。有不确切的地方，请大家指出。