答黎日工



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送交者: xinku 于 2005-6-20, 00:47:15:

是否有数学家想“把整个数学纳入一个公理体系”?
有啊,就是伟大的希尔伯特!他曾经设想用一个公理体系囊括所有数学分支,使得所有数学命题都能在这个公理体系中得到证明或证伪,即要么证明它成立,要么证明它的反面成立。
结果歌德尔证明了什么呢?他证明了:如果一个公理体系包括了算术体系在内(这是起码的要求:连算术都不能做的数学能算数学吗?),则必然存在独立于这个体系的数学命题,使得这个体系中既不存在对它的证明,也不存在对它的反面的证明。
我说歌德尔定理革了数学公理化的命,是指它革了那种把整个数学纳入公理体系的命,并不是说在数学中不能使用公理化的方法。事实上,在现代数学中,有公理和无公理的数学分支同时存在着。毕竟,如果能够把一个数学领域公理化,从而使得这个领域的所有命题能够有某种“组织形式”,这不失为一种整理知识的好方法。如果实在不能公理化,也不必强求。
在没有公理化的数学领域,当然有证明,这证明的根据可以是显而易见的命题,也可以是其他数学分支的定理。例如:红球3个,黑球2个。问:红球和黑球能有多少种组合?你会说:3*2=6种。根据呢?有公理吗?没有。但是这种算法就构成了组合学的基础。再例如:打印机头一秒钟打一个字母,现在两个头同时打,要打8个字母需要几秒钟?答案:8/2=4秒。有公理吗?没有。(实际上要有也很困难,首先要解决什么叫“同时”?要知道,根据相对论,我们宇宙中的同时性可是相对的!想到这,脑袋就大了!)但是这就是计算机科学的基础啊。在没有公理时,并不妨碍我们采用一些显而易见的命题作为出发点,只要这些出发点被大家公认即可。相反地,在有公理的时候,某些公理还不一定就显而易见呢!就拿ZFC来说,那里的某些公理很不显然呢。




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