送交者: zfc 于 2005-6-22, 01:22:58:
这里是对一木的帖子的一些评论:
首先一木最好能给出他的结论的出处.我在Martin Davis主持的FOM上看过一个人给出相同的``证明”.
其次在进行讨论以前,有必要澄清一些事情. 逻辑里面有语法和语义之分. 语法就是所谓的纯粹的逻辑推理. 语义则是对语法的解释. 也就是构造模型. 两者虽然紧密联系, 但绝不是可以混用的.
Goldbach猜想在逻辑学家来说也有两种意思:
一种是语法上.语法上就是把Goldbach猜想形式化, 用纯粹逻辑的语言表达. 因为采用不同的语言, 表达形式必然不一样. 在一阶语言Z1下面ZFC是没有意义的.我们只能用PA(Peano算术公理)(或者它的扩张)推导. 在这个意义下面, Godlbach猜想远非一木说的那么简单. 因为PA的模型可以是非标准的, 一木所谓的``逐个检验GC(n)”是没有意义的. 顺带提及的是, 北师大的王世强先生及其学生在这上面做了颇多的工作. 因为我并非这方面行家, 具体进展可以询问王先生.
还有就是语义上的. 平常我们说的Goldbach猜想就是语义下的. 也就是说在标准模型下面的Goldbach猜想. 事实上主流数学家只关心标准模型下的Goldbach猜想. 但语义下的Goldbach猜想是非常微妙的. 因为一个模型对一个句子或者满足它或者满足它的反面, 因此必然有对错之分. 在这个意义下Godlbach猜想或者对或者错, 不可能有其它可能. 但糟糕的事情在于一个模型对一个句子的满足与否是无法机械判定的. (PA的)标准模型能够满足的句子的集合具有非常高的复杂性. 因此我们还是必须借助于公理系统. PA的标准模型是可以在ZFC内形式化的, 也就是说ZFC可以语法地讨论PA的语义问题(PA自身不可以, 否则与Godel不完备性定理矛盾). 在这种情况下, Goldbach猜想是所谓的Pi^0_1的叙述(而不是简单的所谓Pi_1,二者虽然可以类比,但完全是两码事情.). 事实上``ZFC是协调的”也是Pi^0_1的叙述. 众所周知, 如果ZFC是协调的, 那么ZFC不能证明``ZFC是协调的”. 因此我们没有理由认为Goldbach猜想是ZFC可判定的. 最近H.Friedman甚至宣称存在一个Pi^0_1叙述, 它与某个大基数是等价协调的. 当然集合论里面对这类简单的命题有一些所谓的``绝对性”原理. 大致是说满足ZFC的所有包含\omega_1的传递模型对这类叙述都有相同的真值性. 换句话说也就是所有这些模型或者同时满足它,或者同时不满足它. 这意味着如果我们可以在ZFC上面加一些强的公理(例如V=L)来证明Goldbach猜想, 那么实际上ZFC就可以证明. 这不失为证明GC一个途径. 但这并不意味着GC是ZFC可判定的.
一木文中其它的错误举不胜举(比如“另一观点认为，正如数论有一个绝对
的模型（即自然数系统），在这一模型中任何命题都是非真即假，”, “他这一派的人“猜测”至少V认为“连续性假设”是错的。” 等等…), 其余不作一一讨论.