送交者: xinku 于 2005-6-21, 01:19:26:
自从欧几里得把几何公理化，公理在数学中似乎具有比定理更“根本”的地位---所有定理都必须从公理中推出嘛！公理的正确性似乎是不言自明的，而定理正确与否则仰仗于它是否能从公理中逻辑地导出。在此意义上，公理似乎是先验的。
然而，以上论断只有在一个给定的公理体系内才能成立。从更广泛的意义上看，即从如何选择公理构造公理体系的角度看，那些原先作为公理的命题并不比普通的命题具有更优越的地位。早先人们在选择公理时，总是尽量挑选那些“自明的”命题作为公理，这样做被实践证明常常是有效的。然而这不是选择公理的唯一标准，也不可能是一个明确无歧义的标准，因为不同人关于什么命题是“自明的”常常有自己与众不同的标准。例如欧氏几何中的平行公理（过直线a外一点有且只有一条直线与a平行），究竟在何种意义上它是自明的呢？更不用说在真实的宇宙中，它还可能事实上是错误的。
那么除了“自明”这一不严格的“标准”以外，选择公理还有哪些标准呢？
1 公理应该互相独立。如果某个命题可以从其他公理导出，那么它就不应该作为公理。
2 公理的选择应该尽可能扩大它所能导出的结论范围。如果一个公理体系所能导出的结论不及另一个公理体系导出的多，则应该采用第二个公理体系。
3 公理应该尽可能地少。这也是“奥卡姆剃刀”原则所要求的。
4 公理的选择要使得证明尽量简单。
5 公理的选择要迎合可能的应用领域的需要。
有人还可能会有其它的标准，但不管怎样，公理的选择是完全从“方便性”入手的，这里丝毫不涉及“价值”取向。在从众多命题中选择公理时，没有哪个命题是“先验地”比其他命题更具有“公理相”。最终形成的公理体系，常常是以上这些“标准”择衷权衡的结果。
毫不奇怪，在同一领域，可能会有多个公理体系存在，虽然更常见的是有一个被广泛接受的公理体系。这不排斥允许有更多的公理体系，特别是当这些公理体系可以在理论上被证明是等价的时候。例如，在算术领域被广泛接受的是Peano 公理体系，如下：I 0 是自然数
II 若 a 是自然数，则 a 的后继也是自然数
III 0 不是任何自然数的后继
IV 后继相等的自然数也相等
V （归纳公理）如果一个自然数集合 S 包含 0，而且S中所有数的后继仍在 S中，则 S 包含所有自然数。
那么现在考虑如下的另一个公理体系：
I 空字符串是自然数
II 由 1 组成的字符串是自然数
III 只有由前两条产生的字符串才是自然数
不然看出，后一个公理体系与 Peano 公理体系是等价的。你能说出哪一个公理体系更具有“先验性”吗？
另外，流行的公理体系是否都具有“自明性”呢？以ZFC公理体系为例：
1 若对于任意 x, x 属于a iff x 属于b, 则 a=b
(这是自明的)
2 存在 x, 使得对于任意的y, y属于x iff y=a 或 y=b
(这是说：由 a,b可以组成二元集{a, b}，这是自明的)
3 存在 x, 使得对于任意的y, y属于x iff a中存在z, 使得y属于z
(这是说：a 中的所有元素的并集，仍是一个集合，这是自明的)
4 对于任意的x, 存在y, 使得对于任意的z, z属于y iff z 是 x 的子集
（这是说：任何集合 x 的所有子集也构成一个集合，这是自明的）
5 存在 x, 使得任意的y 都不在 x 中
（这是说：空集是存在的，这是自明的）
6 存在 x, 使得空集属于x, 并且对于x 中的任意元素y, y与{y}的并集也属于x
(这是说：从空集出发，连续不断地求y与{y}的并集，将所有得到的结果合起来，仍是一个集合。这个似乎是自明的，可为什么非要有这么个东东呢？)
7 存在x, 使得对于任意y, y 属于x iff y 属于 a 且 A(y)成立
（这是说：集合a中所有能够使得条件A成立的元素也组成一个集合，这是自明的）
8 存在x, 使得对于a中任意的y, 若存在z使得A(y,z)成立，则x中存在z 使得A(y,z)成立
（这是说：a中元素经映射A得到的所有像也组成一个集合，自明）
9 若存在x使得A(x)成立，则存在x, 不但使得A(x)成立，而且x中的任何元素y都不能使得A(y)成立
(就是说：任何非空集合 x 中都存在一个元素y, 使得 y 与 x 没有交集。这一条就不自明了：怎么会想到这样的东东？)
10 对于任意一组互斥的非空集合，存在一个集合 a, a 与每个集合都恰好有一个公共元素，而且 a 只由这些元素组成。
（这就是著名的选择公理，自明吗？）
由此可见，并不是每条公理都足够“自明”。那么这些公理是从哪里来的？事实上，ZFC的这些公理的选定，不过是在小心翼翼地、战战兢兢地设法把“罗素悖论”从集合论中踢出去，而在此过程中又不能“踢的太狠”，以免把有用的定理也给踢出去了。真不容易啊，真够难为Zermelo-Fraenkel 了！
公理的选择，就像在空间中选择坐标原点一样，原则上任何一点都可以作为原点，具体选择哪一点为原点，则要视实际应用的需要。而一旦原点选定了，则其它点都由相对于原点的坐标来确定。公理也是一样，按照你自己的需要来选择公理（当然你得有这样的能力）。数学的功绩在于它发现了命题之间的逻辑关系，而且这样的逻辑关系不随应用领域的改变而改变，是永恒的。至于你将以哪些命题为出发点，这就看你想干什么了。