想起来我做过的一道非常有趣的平面几何竞赛题。为降低难度分成两小题。

所有跟贴·加跟贴·新语丝读书论坛

送交者: zhangqq 于 2019-02-28, 03:16:56:

1. 将任意一个凸四边形的一对对边（不是邻边）都做5等分，然后对应的分点用直线段连起来，这个四边形被划分成5个小凸四边形，求证中间那个四边形的面积是大凸四边形面积的1/5。

2. 将上述凸四边形的另一对对边也做都5等分，对应分点也用直线段连接起来，产生一个25个小凸四边形组成的网格，求证：正当中的那个小四边形的面积是大凸四边形面积的1/25。

所有跟贴:

做一条辅助线，把四边形分成一个梯型和一个三角形。 - xiaoqiang (102 bytes) 2019-02-28, 22:50:44 (850289)
- 第二部分：就是把对第一部分的中间条当作一个新的四边形 (无内容) - xiaoqiang (0 bytes) 2019-03-01, 17:16:40 (850301)
- 第一问你的做法没问题，第二问不能继续用啊。 (无内容) - zhangqq (0 bytes) 2019-03-01, 15:19:57 (850298)
把四边形分为三角形，面积和高度成正比。高度又是线性比例。 (无内容) - truist (0 bytes) 2019-02-28, 07:53:55 (850279)
- 这个做法对第一问是没问题的。第二问恐怕不行吧？ (无内容) - zhangqq (0 bytes) 2019-02-28, 17:15:56 (850281)
  - 取中心点造四个三角形不久解决了？ (无内容) - truist (0 bytes) 2019-02-28, 18:00:18 (850282)
    - 不必了。第二问是第一问的推论。只要证明中间连线也都是五等分即可。 (无内容) - truist (0 bytes) 2019-02-28, 18:15:29 (850283)
      - 正解！中间的四个格子点恰好是5分等点，当然其他格子点不一定是。 (无内容) - zhangqq (0 bytes) 2019-02-28, 20:02:38 (850284)
        
        只有中间的格子具有这个性质，因为中间值是1/2。其它格子无此性质。这也即证明思路。 (无内容) - truist (0 bytes) 2019-02-28, 20:07:38 (850287)
        
        简化起见把大四边形一顶点视为原点，容易用复数或向量验证那4个点正好是5等分点 (无内容) - zhangqq (0 bytes) 2019-02-28, 20:06:55 (850286)
        
        用同样的办法，很容易推广到一般的奇数等分的情景。 (无内容) - zhangqq (0 bytes) 2019-02-28, 20:07:53 (850288)
老实讲没有第一问俺直接做第二问是没戏的。即使有了提示第二问俺也花了个把小时。 (无内容) - zhangqq (0 bytes) 2019-02-28, 03:23:50 (850277)
- 做完后发现实际是可以推广的比如一对边分7等分一对边5等分则中间面积的是1/35. (无内容) - zhangqq (0 bytes) 2019-02-28, 04:43:31 (850278)
如果把第一问给抹掉直接来第二问，事先没做过类似问题的话，估计也要团灭了。 (无内容) - zhangqq (0 bytes) 2019-02-28, 03:19:40 (850276)

加跟贴