◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.3322.org)(xys.dyndns.info)◇◇ (方舟子按:有许多读者来稿解答这个问题,都根据“表面积相等的长方体,正 方体的体积最大”的定理,而得出答案为长4米,体积64立方米。(设正方体的边 长是a,没有盖子,只需要5个面,5*a^2=80, a=4)虽然这很可能是出题者的“标 准答案”,但是却是错误的。“表面积相等的长方体,正方体的体积最大”不能 直接应用于没有盖子的情况。该题解法已超出小学数学的范围。下面为浙大其其 提供的初等数学解法和Yush提供的高等数学解法。又,skywalker00认为可以这么 看:用两份同样的材料,做出两个长方体,合在一起面积最大时是正方体,所以 高是宽的一半。) 对书剑子的一道小学五年级作业题的解答 浙大其其 书剑子《小学作业越来越让人看不懂》一文(XYS20050811)提到其侄子的 小学暑假作业中有一道数学题难以用初等数学求解,我这里给出一法。书剑子的 题目如下:    来源:兰州大学出版社出版的小学生暑假作业,五年级数学   题目:生活数学:用一块面积为80平方米的铁皮,制作一个无盖的长方体盒 子,请问怎么做盒子的体积最大? 这道题属于求有约束的极值问题,这类问题的一般性解法是利用高等数学的 拉格朗日乘子法。但是应该注意到:不少特殊的极值问题倒的确可以利用初等数 学(利用绝对不等式)解决。按照中国的教学大纲,以上这道题难度属于初中数 学竞赛水平,也属于高一数学普通习题水平。出现在小学五年级暑假作业中,并 被冠之“生活数学”,说明这道题属于附加题性质,不属于教学大纲要求,相当 于供尖子生啃啃的趣味题,无学有余力的普通学生姑妄读之、姑妄试之,可做可 不做。 下面是“能用小学五年级能听懂的方法”所得到的解答: 设无盖盒子的长、宽、高分别是x、y、z,那么其表面积(无盖)是 80=2zy+2zx+xy, (1) 盒子体积为V=xyz。 利用V=xyz,(1)式可以化为 80=2V/x+2V/y+V/z (2) 利用绝对不等式(高一数学) a+b+c 》3(abc)^(1/3) (3) [说明:(3)式中 》表示‘大于、等于号’,^(1/3)表示开三次方] 从(2)式便可以得到不等式 80=2V/x+2V/y+V/z 》3(4V^3/xyz)^(1/3), 由于V=xyz,那么4V^3/xyz=4V^2, 于是 80》3(4V^2)^(1/3), 从而V的最大值是 V=(1/2)(80/3)^(3/2), 当且仅当2V/x=2V/y=V/z时,以上极值才能被取到,所以当无盖盒子体积最大时, 盒子的长、宽、高分别是:x=y=(80/3)^(1/2), z=(1/2) (80/3)^(1/2). 以上结果与用高等数学的拉格朗日乘子法得到的结果一致(此时拉格朗日乘 子为(-1/4)(80/3)^(1/2))。 注:对于脑瓜子灵的学生而言,会发现以上问题中x与y的地位对称,它们谁 也不比谁特殊,那么最后结果必然含x=y,预先利用这一关系式,可以大大简化 以上计算。 由于绝对不等式(3)是高一数学内容,所以这道题对于初中与小学高年级 学生而言的确是很难的。但是经过简单的培训,他们中的一些学有余力的学生是 可以掌握这些不等式并作运用的。我们以前读初中时参加数学竞赛辅导,就遇到 过这些不等式。 附: Yush提供的拉格朗日乘数法证明 设面积为S,长、宽、高分别为a、b、c,则目标函数为 f = abc - k(ab+2ac+2bc-S) 其中k为拉格朗日乘数。 求f对a、b、c的偏导并设为0,得到 (1) df/da = bc - k(b+2c) =0 (2) df/db = ac - k(a+2c) =0 (3) df/db = ab - k(2a+2b)=0 稍微一观察便可看出,在a、b、c、k非零的前提下,显然a=b=2c。 如果信不过“观察”,可由(1)、(2)联立得到a = b = 2kc/(k+c),由(2)、(3)联立 得到a = 2c = 2kb/(2k+b) (XYS20050812) ◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.3322.org)(xys.dyndns.info)◇◇