◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.3322.org)(xys.dyndns.info)◇◇ 　　“盒子体积最大制作”一题的一点看法 　　errt_cn_2004 　　方先生： 　　前几天看见书剑子先生的文章，后来又看了一些网友的回复，我想这几位网 友误解了题意，没有注意到“生活数学”这几个字，也就没有注意到生活数学题 解答的特殊性。 　　下面提供有一个关于这道题一个教案。 　　制成一个尽可能大的无盖长方体 　　山东滨州 侯美华 　　教材分析 　　《制成一个尽可能大的无盖长方体》选自义务教育课程标准实验教科书《数 学》（北师大版）七年级上册。本节课的学习对学生而言是一种新的学习方式， 需要学生综合本学期所学的数学知识、技能与方法，通过解决问题的方式去获得 对相关知识与方法的进一步理解，体会各部分之间的联系。对本课题的研究需要 学生综合图形的展开与折叠、字母表示以及利用代数式的值去推断代数式所反映 的规律等方面的知识和方法。同时，让学生经历试验、想像、分析、猜想、交流、 推理和反思等过程。 　　教学重点：借助统计表，推断无盖长方体容积变化与正方形边长变化之间的 关系。 　　教学难点：无盖长方体的平面展开图及无盖长方体容积的代数表达式。 　　学生分析 　　1．通过第一章《丰富的图形世界》的学习，学生已积累了平面图形与立体 图形互相转化的经验，并对实际操作活动——折纸有浓厚的兴趣。 　　2．学生对利用代数式的值去推断代数式所反映的规律这方面的经验较少， 但处理数字信息的能力较强。 　　设计理念 　　根据基础教育课程改革的具体目标：倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动 手，培养学生分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。 　　教学自标 　　1．经历从实际问题抽象成数学问题——建立数学模型——综合应用已有的 知识解决问题的过程。 　　2．在解决问题的过程中进一步丰富学生的空间观念和符号感。 　　3．通过借助已有的信息去推断实物变化趋势的活动，发展学生的思维能力。 　　4．获得一些研究问题的方法和经验。 　　5．通过获得成功的体验和克服困难的经历，增强应用数学的信心。 　　教学流程 　　一、课前准备。 　　教师用厚纸制作一个无盖长方体；收集长方体形状的包装盒，如墨水瓶盒、 粉笔盒、饼干盒、牙膏盒等。 　　学生准备几张边长为20cm的正方形厚纸、剪刀、胶水等。 　　二、创设问题情景，学生进行操作。 　　师：同学们，在我们日常生活中经常见到各种长方体形状的包装（出示包装 盒）。其实，用一张正方形的纸就可以制成一个无盖的长方体。如何使制成的无 盖长方体尽可能地大呢？这就是这节课我们要一起探究的问题（板书课题）。 　　试试看，如何用一张正方形的纸制成一个无盖的长方体呢？怎样剪？怎样折？ 小组内交流。 　　（学生动手操作，小组讨论，使每个学生都能制成一个无盖的长方体。） 　　师：这个无盖长方体的平面展开图是什么样的呢？谁给同学们展示一下？ 　　（课堂上热闹起来，学生争先恐后到实物展台前展示，有个学生干脆跑上讲 台把自己的图形粘贴在黑板上，同学们忍不住笑起来。） 　　教师剪开一个课前制作的无盖长方体进行验证。 　　师：如果这张正方形纸的边长为a，所折无盖长方体的高为h，你能用a与h表 示这个无盖长方体的容积吗？这个长方体的高又等于什么呢？ 　　（课堂静下来，学生在探求平面图形与立体图形之间的对应关系。） 　　学生经历平面——立体——平面的过程，小组讨论，交流结论，得到容积为： h（a－2h）2，为后面的猜想做好铺垫。 　　三、提出挑战性问题，鼓励学生大胆猜测问题。 　　师：用一张正方形的纸可折叠出不同的无盖长方体，猜想：这个长方体的容 积变化与边长变化之间有什么关系呢？怎样才能制成一个尽可能大的无盖长方体 呢？ 　　（令我吃惊的是大部分学生认为当小正方形的边长h等于正方形的纸的边长a 的1／4时，长方体的容积最大。在巡视中我注意到其原因是大部分学生通过把正 方形折叠两次所至，于是我启发学生：换个比值试试看。很快，有些学生认为随 着剪去的小正方形的边长h的增大，长方体的容积也增大；有些学生认为随着剪 去的小正方形的边长h的增大，长方体的容积减少；也有几个学生认为没有规律 可循……此时学生各抒己见，群情激昂。） 　　【牛顿说过，没有猜想，就没有伟大的发现。实施开放式教学，鼓励学生大 胆猜想。】 　　四、借助计算验证猜想。 　　师：同学们的理由都很充分，到底哪种答案正确呢？我们不妨假设a＝20cm 来验证。如果剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取1cm，2cm， 3cm，4cm，5cm，6cm，7cm，8cm，9cm，10cm时折成的无盖长方体容积将如何变 化？请同学们制作一个统计表表示这个变化。 　　（学生借助计算器得出：当h＝1cm时，容积为324cm3；当h＝2cm时，容积为 512cm3；当h＝3cm时，容积为588cm3；当h＝4cm时，容积为576cm3；当h＝5cm时， 容积为500cm3；当h＝6cm时，容积为584cm3……） 　　师：引导学生观察上表，与同伴交流发现的结论。 　　（学生易得出：当h＝3cm时，容积最大为588cm3。） 　　师及时启发：如果小正方形的边长发生变化，上面的结论还成立吗？ 　　（学生众说纷纭。） 　　师：我们来试一试，如果剪去的小正方形的边长按0.5cm的间隔取 　　直，折成的无盖长方体容积将如何变化？ 　　（学生借助计算器很快得出：……当h＝2.0cm时，容积为512cm3；当h＝ 2.5cm时，容积为562.5cm3；当h＝3.0cm时，容积为588cm3；当h＝3.5cm时容积 为591.5cm3；当h＝4.0cm时，容积为576cm3；当h＝4.5cm时，容积为544.5cm3； 当h＝5cm时，容积为500cm3……） 　　教师引导学生观察上表，与同伴交流发现的结论。 　　（学生得出：当h＝3.5cm时，容积最大为591.5cm3。） 　　师：如果剪去的小正方形的边长按0.25cm的间隔取值，折成的无盖长方体容 积又将如何变化？ 　　（经过一番计算，学生又得出：当h＝3.25cm时，容积最大为592.3125cm3。） 　　【层层递进，下一个表格的完成都否定了上一个结论，激发学生继续探究的 热情，为后面结论的得出做铺垫。］ 　　师：观察以上三个表格，你会发现这个长方体的容积变化与边长变化之间有 什么规律？借助你的想像，你能形象地画出图形表示这个规律吗？ 　　小组交流。 　　（学生跃跃欲试，利用实物投影展示自己的发现。如下图。） 　　（学生竟然能画出这么形象的图形，学生的想像力实在不能低估！） 　　【学生借助已有的知识“折线统计图”画出反映的规律，增加直观性，为下 面容积最大值的继续探索做铺垫。另外，还渗透了两变量之间的变化关系。】 　　师：借助课件演示代数式h（20－2h）2的值随h的变化而变化的情况。 　　师启发：到此可知当h＝3cm，3.5cm，3.25cm时，都得不到最大的容积，我 们可断定，当h取到30cm～3.5cm间的某一值时，容积会最大。那么这个值到底是 什么呢？ 　　（学生探究：当 h＝3.3cm时，容积为592.548cm3，当h＝3.4cm时，容积为 592.416cm3，所以h一定介于3.3cm～3.4cm之间，再计算h＝3.3cm、3.33cm、 3.333cm、3.3333cm……时的容积逐渐增大。） 　　（到此，学生自然得到当h＝（）cm时，容积取到最大值，而a＝20cm，因此， 当 h＝（）a时，制成的无盖长方体的容积最大。） 　　师：现在，请同学们再动手折叠出这个容积最大的长方体。 　　【学生经历操作——猜想——计算——观察——合作——想像——推理—— 操作的过程，培养学生主动探究、勇于实践和创新能力。】 　　四、小结。 　　通过本节课的学习，你有哪些收获呢？课后兴趣相同的同学组成小组继续研 究，也许你会发现更多值得探究的现象呢。 　　【教师通过提问的方式小结本节知识，使学生悟出得出结论的过程，积累数 学活动经验．养成学习——总结——学习的良好学习习惯，同时把探究深入开展 下去。】 　　课后反思 　　通过本节课的学习，学生进一步丰富了空间观念，体会两变量之间的变化关 系以及符号表示在实际问题中的应用，进而体验从实际问题抽象成数学问题、建 立数学模型、综合应用已有的知识解决问题的过程，并从中加深了对相关知识的 理解、发展了自己的思维能力。教学中通过学生的操作、猜想、计算、观察、合 作、想像、推理，培养学生主动探索、勇于实践、善于发现的科学精神以及合作 交流的意识。通过课件形象直观地反映出两变量之间的关系。不足之处是将课题 分解成小问题，一定程度上限制了学生的思维。 　　摘自海南出版社《新课标优秀教学设计与案例》 (XYS20050816) ◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.3322.org)(xys.dyndns.info)◇◇