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克莱因瓶制造得出来吗？

异调

　　韩雪涛先生的文章《数学科普：常识性谬误流传令人忧》在“克
莱因瓶问题”一节中对谈祥柏先生在《数学广角镜》中所言克莱因瓶
不可能被制造出来表示异议，指出英国人Alan Benett已经做出过克莱
因瓶的玻璃制品。在这篇短文里我希望能够澄清一下此中一点问题。

　　所谓的克莱因瓶是数学家Felix Klein发现的曲面，在数学中这个
曲面定义而且只能定义在高于三维的欧氏空间中。Alan Benett制造的
“克莱因瓶模型”所表示的曲面却是一个在三维空间中的曲面，不等
同于克莱因瓶，它只是克莱因瓶在三维欧氏空间中的一个浸入(Immersion)。
克莱因瓶是一个标准的二维流形，也就是它局部和平面同胚，并不自
身相交；而Alan Benett制造的“克莱因瓶模型”所表示的曲面却自身
相交，在照片上我们很容易看到它的瓶颈穿过了瓶壁才和瓶底连在一
起。数学上对此的说法就是“克莱因瓶不能被嵌入(embeded)到三维欧
氏空间中去”。

　　和这个例子类似的是纽结在平面上的表示。如果拿一根绳子（松
松地）打一个结，再把它的两端粘在一起，我们就可以把它看作空间
中的一条封闭曲线，它自身不相交。但是如果我们要把这条曲线画在
平面上的话，一定避免不了要把曲线画得自身相交。为了表示那两根
分支其实是在空间的不同位置上，并不相交，我们通常可以把一根分
支画成断裂的样子，表示它是在另一根的下面。我们可以说这条曲线
在平面上画得出来，因为看到这个图的人很容易以此想象出空间中这
条曲线的真实样子；但是我们也可以说这条曲线在平面上画不出来，
因为纸上的这条曲线和空间中的那条完全不是一回事，一条是连续的，
不自相交的，而另一条却是自相交或者断裂的。

　　所以谈祥柏先生说克莱因瓶不能被制造出来也是正确的，完全取
决于什么叫“可以被制造出来”。如果所谓“制造得出来”就是能够
使受过一点数学训练的人通过模型掌握四维空间中真实曲面的样子，
那么可以说Alan Benett制造出了克莱因瓶（在我本人的想象中，瓶颈
和瓶壁并不相连，而是在第四维上处于不同的位置，有点象电影中两
个不同场景的叠加效果，虽然它们同时出现在屏幕上，我们知道它们
不在同一个时空）。但是如果“制造得出”意味着模型表示的曲面就
是克莱因瓶，那么毫无疑问，克莱因瓶不可能被制造出来。特别地，
克莱因瓶还存在着另一种三维浸入，叫“八字形克莱因瓶”，这个曲
面和上面的这种浸入不同伦，在三维空间中它们就算是橡皮做的也不
能连续地从一个变形为另一个。与克莱因瓶相反，把纸带扭一转后两
头粘起来的墨比乌斯带的模型真的能够在后面这种意义下制造出来。

　　但是“许多国家的数学家老是想造它一个出来，作为献给国际数
学家大会的礼物。然而，等待他们的是一个失败接着一个失败”这样
的话是不正确的。我手头没有谈祥柏先生的《数学广角镜》一书，所
以不能查对。如果书中的确如此写，那么韩先生批评它“存在着某些
疏漏之处”我完全同意。如果“制造不出来”是指我说的第一个意思，
那么显然Alan Benett已经做了出来，不但如此，在网上就有此类克莱
因玻璃瓶出卖，有贵有贱，２５美元便可以买一个（http://www.kleinbottle.com/）。
如果“制造不出来”是指第二个意思，那么这个“制造不出来”的道
理很早就已经为数学家所知，他们不至于会做那个无用功，“老是想
造它一个出来，作为献给国际数学家大会的礼物。”我不知道谈先生
这样写有什么根据或出处。

　　另外非常支持韩先生所说要避免数学科普（或者所有学科的科普）
中以讹传讹的局面，也对他的努力表示赞赏。所谓的“疏率”，我正
是看了他的文章才知道里面有问题。当我在三思论坛上提出对韩先生
此文中克莱因瓶部分的意见时有网友回帖说：“‘真的克莱因瓶的瓶
颈和瓶壁是不相交的’？那，各种书上的图解错了（脑袋都大了）？
那么墨比乌斯带的纸模型正确吗？”我想写这样一篇小文来澄清一下
这个也许有许多朋友都有误解的问题，也算是在这方面的一种努力吧。 
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