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为什么江苏的那道高考数学题没有错

作者：豆腐干
时间：2003年11月14日


关于一道江苏高考数学题正误的争论已经有一段时间了。早就想发表一些评论，
但一直手懒，不肯写。今天在新浪网上看到朱如曾先生为这件事奔走呼号的新闻
（http://edu.sina.com.cn/l/2003-11-13/56455.html），非常感动，决定说一
下我的看法。

首先，我打算评论一下这道题本身。我看到的这道题来源于：
http://image2.sina.com.cn/edu/l/2003-11-06/3_42-4-49_20031106133830.gif

我本人是受过专业数学训练的，我下面打算以大学本科数学专业数学分析课程考
试的标准来解一下这道题。我们可以先用集合的语言来描述一下这个问题的解。
在下面用到的数学符号中，符号“a^2”表示a的平方，符号“b^2”表示b的平方，
“>=”表示“大于等于”，“<>”表示“不等于”。

题目的文字部分：如果函数y=ax^2+bx+a的图像与x轴有两个交点，则点(a,b)在
aOb平面上的区域（不包含边界）为

解：首先，假定x、a、b都是取实数值。分情况进行讨论。

第一种情况，a<>0。此时该函数是一个二次函数，它与x轴可能有零个交点、一
个交点或两个不同的交点。由于题目没有明确说明函数图像是否与x轴有两个
“不同”的交点，因此，有一个交点的情况也应该是符合题意的，此时，图像与
x轴有“两个相同的交点”。有一个或两个不同交点的情况发生在b^2-4a^2>=0的
情况，因此，(a,b)在aOb平面上的区域必须包括集合I={(a,b): |b|>=2|a|且a<>0}。

第二种情况，a=0且b<>0。此时，函数是一个一次函数，与x轴必有一个交点，因
此也可以说有“两个相同的交点”。因此，(a,b)在aOb平面上的区域必须包括集
合II={(a,b): a=0且b<>0}。

第三种情况，a=0且b=0。此时，函数是一个“常值函数”，永远取零值，因此与
x轴有“无穷多个交点”。由于题目没有明确说明函数图像与x轴是否“只有”两
个交点，因此，有无穷多个交点的情况也是符合题意的，此时，函数图像与x轴
“有两个交点，但不是只有两个交点”。因此，(a,b)在aOb平面上的区域必须包
括集合III={(0,0)}。

综合上述讨论，(a,b)在aOb平面上的区域是集合I、II和III的并集合，因此，这
个区域应该是：{(a,b): |b|>=2|a|}。

解毕。

如果有人看了上述解题过程后会联想到美国电影中的流氓律师，那我只能说抱歉
了。一个受过专业数学训练的人，在表达“只有两个不同的交点”这样的意思的
时候，是决不允许漏掉“只有”和“不同”这两个词的。我没有讨论x、a、b取
复数的情况已经是够客气了:-)高中的理科学生都是学过复数的吧？

下面发表几点评论：

1。这道题以专业数学家对数学语言的严格性要求来看，是非常含混的。如果这
是本科数学专业的数学分析课程考试，这道题应该叙述为：
函数y=ax^2+bx+a中的自变量x以及参数a和b均取值于实轴，如果函数的图像与x
轴有且只有两个不同的交点，那么参数a和b的取值范围应该是什么？

2。在评论1中，用到了“图像”这个词。实际上，在现代的数学里，并没有大家
所理解的那种“由手画出来的图像”，如果你在专业的数学书籍中发现有肉眼可
见的图像，那可能只是一个“示意”图，可能只是用于帮助理解论证过程的。原
则上，现代的数学并不接受任何“由手画出来的图像”。比如，你不能在数学专
业的考试里说“如图所示，所以……”。这种论证方法只是教给中学生的，不是
专业数学家的数学语言。那么，专业数学家所说的函数图像是什么呢？以本题为
例，那就是如下一串符号：{(x,y):y=ax^2+bx+2，x为实数}。因此，如果这道题
是用来考数学专业的学生的，原则上是不会让人去“指出”是哪个“手工画出的
图像”的。至少原则上如此。

3。在大学里学过复变函数的学生可能会知道，数学家在试图用手工画出的图形
来描述某个“不包含”y轴的区域时，如果该区域与y轴又没有明显的间隙，就像
本题的这种情况，就会在y轴附近开一个非常明显的“缺口”，或者说沿着y轴裁
掉一个明显的窄条，而不是将y轴画成虚线。窄条的边缘可以画实线。如果原点
不在这个区域里，还需要在原点周围明显地裁出一个小圈。我上高中的时候，是
没学过这些规则的。

4。综合以上三条评论，我认为，这道题离专业数学家对数学语言严格性的要求
相距甚远。而且，在高中教学里可能也没有讨论过像本题答案中给出的那个区域
到底怎样画。让高中学生做这样的问题，可能会影响某些学生的答题过程，尤
其是那些学习比较好而且较认真的人。

5。本人以为，高考负责单位建立必要的“质询处理机制”是明智的。这可能包
括

5。1。有成员明确的“质询处理委员会”负责处理来自社会的“质询”。
5。2。为“质询”建立明确的“处理流程”和“处理周期”。
5。3。对于符合条件的“质询”要有“处理结论”和“行动意见”，“处理结论”
和“行动意见”要通过的公开的“发言人制度”来发布。
5。4。某类“质询”的“处理结论”和“行动意见”最好能够用事先定义的标准
化语言陈述，例如，在质询某道题是否出错时，应该明确回答是“将此题作废”
还是“维持原判”。

6。高考题目最好能在考试前经专业人士审查。错误或不恰当的地方最好能消灭
于萌芽状态。否则，如果考试已经结束，就算将不适当的题目作废，还是有些考
生可能因为答题过程受到干扰而遭受重大损失，这种损失是难以界定的，而且难
以弥补。对于存在严重问题的题目，如果高考成绩尚未发布，以我之见，能作废
的还是作废为好，学生参加一次高考不容易。如果在录取工作结束后再来谈这件
事，那就更难处理了。高考工作的负责人应该设身处地地为那些遭受重大影响的
考生想一想，即使那些人可能只是极少数。

(XYS20031114)

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