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蒋春暄否定黎曼假设的证明的根本错误

作者：Yush

　　从蒋春暄发表于《发明与革新》2001年第8期的《黎曼假设的否定》和《代
数·群·几何》2004年第21期的《Disproofs of Riemann's Hypothesis》来看，
蒋春暄的根本错误在于弄错了作为黎曼假设核心的黎曼zeta函数的定义。

　　蒋春暄在其论文中用Euler乘积公式定义了“zeta函数”，并直接以该定义
为基础、用三种方法否定了黎曼假设。而实际上，虽然zeta函数ζ(s) 的“原始”
定义为Dirichlet级数或Euler乘积公式（级数或乘积的收敛域为Re(s) 〉1），
但只有解析开拓后才是“完整”的zeta函数（定义域是除s = 1外的整个复平
面）。也就是说，只有在Re(s) 〉1时zeta函数才可以表示为Euler乘积公式，而
黎曼假设所涉及的zeta函数的零点却是在Re(s) = 1/2上。因此，蒋春暄直接把
以Euler乘积公式定义的、只在Re(s) 〉1上才有意义的“zeta函数”直接应用到
0 ≤ Re(s) ≤ 1上，并以此来否定黎曼假设，显然是荒谬的。

　　以下按照蒋的逻辑来证明余弦函数不可能取负值：

　　(1) 定义余弦函数为直角三角形锐角A的相邻直边b与斜边c之比：
　　　　cos A = b/c
　　(2) 三角形边长≥0，故：
　　　　cos A ≥ 0
　　(3) 因此，余弦函数不可能取负值；现已计算出的所有小于0的余弦函数值
都是错误的。

　　以上证明的荒谬之处在于：直接根据余弦函数在0～90°区间的定义得出了
涉及其它区间的结论。

　　1914年，数学家Hardy已经证明了zeta函数在Re(s) = 1/2上有无限多个零点；
随后，数学家们估计了零点的分布密度；到2004年，数学家已经找到了符合黎曼
假设的前10万亿个零点。在这种情况下，蒋春暄声称“zeta函数在0≤Re(s)≤1
上没有零点”实在是荒唐可笑。

　　《黎曼假设的否定》见：
　　
http://www.wanfangdata.com.cn/qikan/periodical.Articles/fmygx/fmyg2001
/0108/010829.htm

　　《Disproofs of Riemann's Hypothesis》见：
　　http://www.i-b-r.org/docs/JiangRiemann.pdf 

(XYS20051109)

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