◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys1.dyndns.org)(xys888.dyndns.org)◇◇ 追寻数学大国的历史脉络 ——数学史专家李文林谈中国数学发展 《科学时报》2002.8.20. 有位著名的数学家说过，“数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言， 数学更主要是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、 哲学家、逻辑学家和艺术家都有着深远的影响”。 对于数学史有着深厚研究的中国科学院数学与系统科学研究院研究员李文林 认为，数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要力量。 因而，数学史是人类文明史最重要的组成部分。 近年来，李文林研究员执著地在中国数学史领域求索，曾发表过大量关于数 学史的研究论文。他专门为大学学生撰写的《数学史教程》，被广泛地应用于大 学数学史学科的教学。他是上一届中国数学会数学史分会的秘书长。 不久前，李文林研究员还参与了一项重要的研究工作。中国首届国家最高科 学技术奖获得者、著名数学家吴文俊先生设立了“数学与天文丝路基金”，用于 资助年轻学者研究古代中国与世界进行数学交流的历史，揭示部分东方数学成果 如何从中国经“丝绸之路”传往欧洲之谜。该研究旨在纠正世界科技界对中国数 学认识上存在的偏颇，通过对中国古代数学遗产的进一步发掘，探明近代科学的 源流，鼓舞中国人在数学研究上的自信心和发愤图强的勇气。李文林作为该学术 委员会组长参与了很多工作。 日前，本报记者采访了李文林研究员。李文林把中国数学史称为波澜壮阔的 中华文明史中最亮丽的篇章。在李文林的娓娓叙述中，中国数学对于世界的卓越 贡献，如盛开着的中国文明之花，一朵朵展现开来。 □本报记者　王学健 古代数学 领跑世界 　　中国数学有着悠久的历史，14世纪以前一直是世界上数学最为发达的国家， 出现过许多杰出数学家，取得了很多辉煌成就。 中国数学的起源与早期发展，在古代著作《世本》中就已提到黄帝使“隶首 作算数”，但这只是传说。在殷商甲骨文记录中，中国已经使用完整的十进制记 数。至迟到春秋战国时代，又开始出现严格的十进位制筹算记数。筹算作为中国 古代的计算工具，是中国古代数学对人类文明的特殊贡献。 关于几何学，《史记》“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左规矩，右准绳”。 “规”是圆规，“矩”是直角尺，“准绳”则是确定铅垂方向的器械。这些都说 明了早期几何学的应用。从战国时代的著作《考工记》中也可以看到与手工业制 作有关的实用几何知识。 战国(公元前475年～前221年)诸子百家与希腊雅典学派时代相当。“百家” 就是多种不同的学派，其中的“墨家”与“名家”，其著作包含有理论数学的萌 芽。如《墨经》(约公元前4世纪著作)中讨论了某些形式逻辑的法则，并在此基 础上提出了一系列数学概念的抽象定义。 在现存的中国古代数学著作中，《周髀算经》是最早的一部。《周髀算经》 成书年代据考应不晚于公元前2世纪西汉时期，但书中涉及的数学、天文知识， 有的可以追溯到西周(公元前11世纪～前8世纪)。从数学上看，《周髀算经》主 要的成就是分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用，其中关于勾股定理的 论述最为突出。 《九章算术》是中国古典数学最重要的著作。这部著作的成书年代，根据考 证，至迟在公元前1世纪，但其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。《周礼》 记载西周贵族子弟必学的六门课程“六艺”中有一门是“九数”。刘徽《九章算 术注》“序”中就称《九章算术》是由“九数”发展而来，并经过西汉张苍、耿 寿昌等人删补。 《九章算术》采用问题集的形式，全书246个问题，分成九章，依次为：方 田，粟米，衰分，少广，商功，均输，盈不足，方程，勾股。其中所包含的数学 成就是丰富和多方面的。算术方面，“方田”章给出了完整的分数加、减、乘、 除以及约分和通分运算法则，“粟米”、“衰分”、“均输”诸章集中讨论比例 问题，“盈不足”术是以盈亏类问题为原型，通过两次假设来求繁难算术问题的 解的方法。代数方面，《九章算术》的成就是具有世界意义的，“方程术”即线 性联立方程组的解法；“正负术”是《九章算术》在代数方面的另一项突出贡献， 即负数的引进；“开方术”即“少广”章的“开方术”和“开立方术”，给出了 开平方和开立方的算法；在几何方面，“方田”、“商功”和“勾股”三章处理 几何问题，其中“方田”章讨论面积计算，“商功”章讨论体积计算，“勾股” 章则是关于勾股定理的应用。 《九章算术》的几何部分主要是实用几何。但稍后的魏晋南北朝，却出现了 证明《九章算术》中那些算法的努力，从而引发了中国古典几何中最闪亮的篇章。 从公元220年东汉分裂，到公元581年隋朝建立，史称魏晋南北朝。这是中国 历史上的动荡时期，但同时也是思想相对活跃的时期。在长期独尊儒学之后，学 术界思辩之风再起。在数学上也兴起了论证的趋势，许多研究以注释《周髀算 经》、《九章算术》的形式出现，实质是要寻求这两部著作中一些重要结论的数 学证明。这方面的先锋，最杰出的代表是刘徽和祖冲之父子。他们的工作，使魏 晋南北朝成为中国数学史上一个独特而丰产的时期。 《隋书》“律历志”中提到“魏陈留王景元四年刘徽注九章”，由此知道刘 徽是公元3世纪魏晋时人，并于公元263年撰《九章算术注》。《九章算术注》包 含了刘徽本人的许多创造，完全可以看成是独立的著作，奠定了这位数学家在中 国数学史上的不朽地位。 刘徽数学成就中最突出的是“割圆术”和体积理论。刘徽在《九章算术》方 田章“圆田术”注中，提出割圆术作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础， 使刘徽成为中算史上第一位建立可靠的理论来推算圆周率的数学家。在体积理论 方面，像阿基米德一样，刘徽倾力于面积与体积公式的推证，并取得了超越时代 的成果。 刘徽的数学思想和方法，到南北朝时期被祖冲之和他的儿子推进和发展了。 祖冲之(公元429年—500年)活跃于南朝宋、齐两代，曾做过南徐州(今镇江) 从事史和公府参军，都是地位不高的小官，但他却成为历代为数很少能名列正史 的数学家之一。《南齐史》“祖冲之传”说他“探异今古”，“革新变旧”。 球体积的推导和圆周率的计算是祖冲之引以为荣的两大数学成就。祖冲之关 于圆周率的贡献记载在《隋书》中。祖冲之算出了圆周率数值的上下限： 3.1415926<π<3.1415927。祖冲之和他儿子关于球体积的推导被称之为“祖氏原 理”。祖氏原理在西方文献中称“卡瓦列利原理”，1635年意大利数学家卡瓦列 利(B．Cavalieri)独立提出，对微积分的建立有重要影响。 之后的大唐盛世是中国封建社会最繁荣的时代，可是在数学方面，整个唐代 却没有产生出能够与其前的魏晋南北朝和其后的宋元时期相媲美的数学大家。 中国古典数学的下一个高潮宋元数学，是创造算法的英雄时代。 到了宋代，雕版印书的发达特别是活字印刷的发明，则给数学著作的保存与 流传带来了福音。事实上，整个宋元时期(公元960年—1368年)，重新统一了的 中国封建社会发生了一系列有利于数学发展的变化。这一时期涌现的优秀数学家 中最卓越的代表，如通常称“宋元四大家”的杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰等， 在世界数学史上占有光辉的地位；而这一时期印刷出版、记载着中国古典数学最 高成就的宋元算书，也是世界文化的重要遗产。 贾宪是北宋人，约公元1050年完成一部叫《黄帝九章算术细草》著作，原书 丢失，但其主要内容被南宋数学家杨辉著《详解九章算法 》(1261年)摘录，因 能传世。贾宪的增乘开方法，是一个非常有效和高度机械化的算法，可适用于开 任意高次方。 　　秦九韶(约公元1202年—1261年)在他的代表著作《数书九章》中，将增乘开 方法推广到了高次方程的一般情形，称为“正负开方术”。秦九韶还有“大衍总 数术”，即一次同余式的一般解法。这两项贡献使得宋代算书在中世纪世界数学 史上占有突出的地位。 秦九韶的大衍总数术，是《孙子算经》中“物不知数”题算法的推广。从 “孙子问题”到“大衍总数术”关于一次同余式求解的研究，形成了中国古典数 学中饶有特色的部分。这方面的研究，可能是受到了天文历法问题的推动。中国 古典数学的发展与天文历法有特殊的联系，另一个突出的例子是内插法的发展。 古代天算家由于编制历法而需要确定日月五星等天体的视运动，当他们观察 出天体运动的不均匀性时，内插法便应运产生。早在东汉时期，刘洪《乾象历》 就使用了一次内插公式来计算月行度数。公元600年刘焊在《皇极历》中使用了 二次内插公式来推算日月五星的经行度数。公元727年，僧一行又在他的《大衍 历》中将刘焊的公式推广到自变量不等间距的情形。但由于天体运动的加速度也 不均匀，二次内插仍不够精密。随着历法的进步，对数学工具也提出了更高的要 求。到了宋元时代，便出现了高次内插法。 最先获得一般高次内插公式的数学家是朱世杰(公元1300年前后)。朱世杰的 代表著作有《算学启蒙》(1299年)和《四元玉鉴》(1303年)。《算学启蒙》是一 部通俗数学名著，曾流传海外，影响了日本与朝鲜数学的发展。《四元玉鉴》则 是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最突出的数学创造有“招差术”(即高 次内插法)，“垛积术”(高阶等差级数求和)以及“四元术”(多元高次联立方程 组与消元解法)等。 宋元数学发展中一个最深刻的动向是代数符号化的尝试，这就是“天元术” 和“四元术”的发明。天元术和四元术都是用专门的记号来表示未知数，从而列 方程、解方程的方法，它们是代数学的重要进步。 中国古代数学以计算为中心、具有程序性和机械性的算法化数学模式与古希 腊的以几何定理的演绎推理为特征的公理化数学模式相辉映，交替影响世界数学 的发展。 近代数学日渐势微 《四元玉鉴》可以说是宋元数学的绝唱。元末以后，中国传统数学骤转衰 落。整个明清两代(1368年—1911年)，不仅未再产生出能与《数书九章》、《四 元玉鉴》相媲美的数学杰作，而且在清中叶乾嘉学派重新发掘研究以前，“天元 术”、“四元术”这样一些宋元数学的精粹，竟长期失传，无人通晓。明初开始 长达三百余年的时期内，除了珠算的发展及与之相关的著作(如程大位《算法统 宗》，1592年)的出现，中国传统数学研究不仅没有新的创造，反而倒退了。 中国传统数学自元末以后落后的原因是多方面的。皇朝更迭的漫长的封建社 会，在晚期表现出日趋严重的停滞性与腐朽性，数学发展缺乏社会动力和思想刺 激。元代以后，科举考试制度中的《明算科》完全废除，唯以八股取士，数学社 会地位低下，研究数学者没有出路，自由探讨受到束缚甚至遭禁锢。 同时，中国传统数学本身也存在着弱点。筹算系统使用的十进位值记数制是 对世界文明的一大贡献，但筹算本身却有很大的局限性。在筹算框架内发展起来 的半符号代数“天元术”与“四元术”，就不能突破筹算的限制演进为彻底的符 号代数。筹式方程运算不仅笨拙累赘，而且对有五个以上未知量的方程组无能为 力。另一方面，算法创造是数学进步的必要因素，但缺乏演绎论证的算法倾向与 缺乏算法创造的演绎倾向同样难以升华为现代数学。而无论是筹算数学还是演绎 几何，在中国的传播都由于“天朝帝国”的妄大、自守而显得困难和缓慢。16、 17世纪，当近代数学在欧洲蓬勃兴起以后，中国数学就更明显地落后了。 从17世纪初到19世纪末大约三百年时间，是中国传统数学滞缓发展和西方数 学逐渐传入的过渡时期，这期间出现了两次西方数学传播的高潮。 第一次是从17世纪初到18世纪初，标志性事件是欧几里得《原本》的首次翻 译。1606年，中国学者徐光启(1562年—1633年)与意大利传教士利玛窦(Matteo Ricci)合作完成了欧几里得《原本》前6卷的中文翻译，并于翌年(1607年)正式 刊刻出版，定名《几何原本》，中文数学名词“几何”由此而来。 西方数学在中国早期传播的第二次高潮是从19世纪中叶开始。除了初等数学， 这一时期还传入了包括解析几何、微积分、无穷级数论、概率论等近代数学知识。 西方数学在中国的早期传播对中国现代数学的形成起了一定的作用，但由于 当时整个社会环境与科学基础的限制，总的来说其功效并不显著。清末数学教育 的改革仍以初等数学为主，即使在所谓“大学堂”中，数学教学的内容也没有超 出初等微积分的范围，并且多半被转化为传统的语言来讲授。中国现代数学的真 正开拓，是在辛亥革命以后，兴办高等数学教育是重要标志。 现代数学 迎头赶上 自鸦片战争以后，西方列强的军舰与大炮使中国朝野看到了科学与教育的 重要，部分有识之士还逐步认识到数学对于富国强兵的意义，从而竭力主张改革 国内数学教育，同时派遣留学生出国学习西方数学。辛亥革命以后，这两条途径 得到了较好的结合，有力地推动了中国现代高等数学教育的建制。 20世纪初，在科学与民主的高涨声中，中国数学家们踏上了学习并赶超西方 先进数学的光荣而艰难的历程。1912年，中国第一个大学数学系——北京大学数 学系成立(当时叫“数学门”，1918年改“门”称“系”)，这是中国现代高等数 学教育的开端。 20世纪20年代，是中国现代数学发展道路上的关键时期。在这一时期，全国 各地大学纷纷创办数学系，数学人才培养开始着眼于国内。除了北京大学、清华 大学、南开大学、浙江大学，在这一时期成立数学系的还有东南大学(1921年)、 北京师范大学(1922年)、武汉大学(1922年)、厦门大学(1923年)、四川大学 (1924年)等等。 伴随着中国现代数学教育的形成，现代数学研究也在中国悄然兴起。中国现 代数学的开拓者们，在发展现代数学教育的同时，努力拼搏，追赶世界数学前沿， 至1920年末和1930年，已开始出现一批符合国际水平的研究工作。 1928年，陈建功在日本《帝国科学院院报》上发表论文《关于具有绝对收敛 Fourier级数的函数类》，中心结果是证明了一条关于三角级数在区间上绝对收 敛的充要条件。几乎同时，G．哈代和J．李特尔伍德在德文杂志《数学时报》上 也发表了同样的结果，因而西方文献中常称此结果为“陈－哈代－李特尔伍德定 理”。这标志中国数学家已能生产国际一流水平的研究成果。 差不多同时，苏步青、江泽涵、熊庆来、曾炯之等也在各自领域里作出令国 际同行瞩目的成果。1928—1930年间，苏步青在当时处于国际热门的仿射微分几 何方面引进并决定了仿射铸曲面和旋转曲面。他在这个领域的另一个美妙发现后 被命名为“苏锥面”。江泽涵是将拓扑学引进中国的第一人，他本人在拓扑学领 域中最有影响的工作是关于不动点理论的研究，这在他1930年的研究中已有端倪。 江泽涵从1934年起出任北京大学数学系主任。熊庆来“大器晚成”，1931年，已 经身居清华大学算学系主任的熊庆来，再度赴法国庞加莱研究所，两年后取得法 国国家博士学位。其博士论文《关于无穷级整函数与亚纯函数》、引进后以他的 名字命名的“熊氏无穷级”等，将博雷尔有穷级整函数论推广为无穷级情形。 从20世纪初第一批学习现代数学的中国留学生跨出国门，到1930年中国数学 家的名字在现代数学热门领域的前沿屡屡出现，前后不过30余年，这反映了中国 现代数学的先驱者们高度的民族自强精神和卓越的科学创造能力。 这一点，在1930年至1940年中的时期里有更强烈的体现。这一时期的大部分 时间，中国是处在抗日战争的烽火之中，时局动荡，生活艰苦。当时一些主要的 大学都迁移到了敌后内地。在极端动荡、艰苦的战时环境下，师生们却表现出抵 御外侮、发展民族科学的高昂热情。他们在空袭炸弹的威胁下，照常上课，并举 行各种讨论班，同时坚持深入的科学研究。这一时期产生了一系列先进的数学成 果，其中最有代表性的是华罗庚、陈省身、许宝　的工作。 到40年代后期，又有一批优秀的青年数学家成长起来，走向国际数学的前沿 并作出先进的成果，其中最有代表性的是吴文俊的工作。吴文俊1940年毕业于上 海交通大学，1947年赴法国留学。吴文俊在留学期间就提出了后来以他的名字命 名的“吴示性类”和“吴公式”，有力地推动了示性类理论与代数拓扑学的发展。 经过老一辈数学家们披荆斩棘的努力，中国现代数学从无到有地发展起来， 从1930年开始，不仅有了达到一定水平的队伍，而且有了全国性的学术性组织和 发表成果的杂志，现代数学研究初具规模，并呈现上升之势。 1949年中华人民共和国成立之后，中国现代数学的发展进入了一个新的阶段。 新中国的数学事业经历了曲折的道路而获得了巨大的进步。这种进步主要表现在： 建立并完善了独立自主的现代数学科研与教育体制；形成了一支研究门类齐全、 并拥有一批学术带头人的实力雄厚的数学研究队伍；取得了丰富的和先进的学术 成果，其中达到国际先进水平的成果比例不断提高。改革开放以来，中国数学更 是进入了前所未有的良好的发展时期，特别是涌现了一批优秀的、活跃于国际数 学前沿的青年数学家。 改革开放以来的20多年是我国数学事业空前发展的繁荣时期。中国数学的研 究队伍迅速扩大，研究论文和专著成十倍地增长，研究领域和方向发生了深刻的 变化。我国数学家不仅在传统的领域内继续作出了成绩，而且在许多重要的过去 空缺的方向以及当今世界研究前沿都有重要的贡献。在世界各地许多大学的数学 系里都有中国人任教，特别是在美国，中国数学家还在大多数名校占有重要教职。 在许多高水平的国际学术会议上都能见到作特邀报告的中国学者。在重要的数学 期刊上，不仅中国人的论著屡见不鲜，而且在引文中，中国人的名字亦频频出现。 在一些有影响的国际奖项中，中国人也开始崭露头角。 这一切表明，我国的数学研究水平比过去有了很大提高，与世界先进水平的 差距明显地缩小了，在许多重要分支上都涌现出了一批优秀的成果和学术带头人。 中国人在国际数学界的地位空前提高了。 李文林研究员表示，中国数学的今天，是几代数学家共同拼搏奋斗的结果。 2002年国际数学家大会在北京召开，标志着中国国际地位的提高与数学水平的发 展。他表示相信，在众多中国科学家的共同努力下，中国数学赶超世界先进水平， 并在21世纪成为世界数学大国的梦想一定能够实现。 对世界贡献卓著的中国数学家 华罗庚 (1910年～1985年)，江苏金坛人。初中毕业后，他到上海中华职业学校学习， 未读完即被召回。1930年，他在家乡写成的一篇论文《苏家驹之代数的五次方程 式解法不可能成立之理由》在《科学》杂志发表，引起了千里之外的清华大学算 学系主任熊庆来的注意，1931年被调到清华大学任助理员。1936年，经访问清华 的维纳推荐到当时解析数论研究的世界中心剑桥大学作访问学者，在哈代名下从 事数论研究，两年内发表论文十余篇，在华林问题、塔利问题、完整三角和等方 面取得重要结果，引起国际同行重视。1938年回国，在昆明联大期间撰写专著 《堆垒素数论》，给华罗庚带来了世界声誉。除了解析数论，华罗庚后又在代数 学、多复变函数论、数值分析等领域作出一系列重大贡献。华罗庚1946年应邀赴 美国普林斯顿高等研究院工作。1950年毅然放弃伊利诺大学数学终身教授职位回 到中国。华罗庚回国后，即参与了中国科学院数学研究所的筹建，1952年正式出 任所长。华罗庚是美、德等多国科学院的院士。 陈省身 1911年出生，浙江嘉兴人。1926年入南开大学，1930年到清华大学攻读研究 生， 1934年获硕士学位，是中国自己培养的第一名数学研究生。1934年赴德国 汉堡大学，师从著名微分几何学家柏拉须开，不到两年就获得了博士学位。经柏 拉须开推荐，到巴黎在E．嘉当名下访问研究，1937年回国后任教于西南联大。 1943年应美国O．维布伦、H．外尔之邀赴普林斯顿高等研究院工作两年。在此期 间，他完成了将高斯—博内公式推广到高维曲面和紧致黎曼流形上的经典性工作， 引起了国际微分几何学界的震惊。之后他又回到中国，中央研究院数学研究所的 筹办工作实际由他负责。1949年再度赴美，先后在芝加哥大学和柏克莱加州大学 任终身教授，1981年创办柏克莱数学科学研究所。陈省身是现代微分几何的奠基 人，1984年荣获沃尔夫奖，是迄今获此殊荣的唯一华人。1985年，陈省身在他的 母校天津南开大学创建了南开数学研究所。 　 许宝騄 (1910年～1970年)，北京人。1929年由燕京大学化学系转到清华大学算学系， 1936年赴英国伦敦大学学院高尔顿实验室和统计系学习数理统计，1938年获博士 学位。许宝騄身处由费希尔领导的英国统计学派的中心，在此受到很大影响。他 1938年发表的重要论文《最优无偏二次方差估计》，是国际上关于方差分量和方 差数值二次估计的大量文献的起点。许宝騄是多元统计分析的奠基人之一，对极 限分布、试验设计等也有重要贡献。一些外国学者称赞许宝騄是“20世纪最深刻、 最富有创造性的统计学家之一”。 以华人命名的数学成果 □王文 数学领域中有些研究成果是以华人命名的，其中著名的有： 华氏定理　数学家华罗庚关于完整三角和的研究成果被国际数学界称为“华 氏定理”；另外他与数学家王元提出多重积分近似计算的方法被国际上誉为“华 —王方法”。 苏氏锥面　数学家苏步青在仿射微分几何学方面的研究成果在国际上被命名 为“苏氏锥面”。 熊氏无穷级　数学家熊庆来关于整函数与无穷级的亚纯函数的研究成果被国 际数学界誉为“熊氏无穷级”。 陈示性类　数学家陈省身关于示性类的研究成果被国际上称为“陈示性类”。 周氏坐标　数学家周炜良在代数几何学方面的研究成果被国际数学界称为 “周氏坐标；另外还有以他命名的“周氏定理”和“周氏环”。 吴氏方法　数学家吴文俊关于几何定理机器证明的方法被国际上誉为“吴氏 方法”；另外还有以他命名的“吴氏公式”。 王氏悖论　数学家王浩关于数理逻辑的一个命题被国际上定为“王氏悖论”。 柯氏定理　数学家柯召关于卡特兰问题的研究成果被国际数学界称为“柯氏 定理”；另外他与数学家孙琦在数论方面的研究成果被国际上称为“柯—孙猜 测”。 陈氏定理　数学家陈景润在哥德巴赫猜想研究中提出的命题被国际数学界誉 为“陈氏定理”。 杨—张定理　数学家杨乐和张广厚在函数论方面的研究成果被国际上称为 “杨—张定理”。 陆氏猜想　数学家陆启铿关于常曲率流形的研究成果被国际上称为“陆氏猜 想”。 夏氏不等式　数学家夏道行在泛函积分和不变测度论方面的研究成果被国际 数学界称为“夏氏不等式”。 姜氏空间　数学家姜伯驹关于尼尔森数计算的研究成果被国际上命名为“姜 氏空间”；另外还有以他命名的“姜氏子群”。 侯氏定理　数学家侯振挺关于马尔可夫过程的研究成果被国际上命名为“侯 氏定理”。 周氏猜测　数学家周海中关于梅森素数分布的研究成果被国际上命名为“周 氏猜测”。 王氏定理　数学家王戌堂关于点集拓扑学方面的研究成果被国际数学界誉为 “王氏定理”。 袁氏引理　数学家袁亚湘在非线性规划方面的研究成果被国际上命名为“袁 氏引理”。(摘自《华人》2002年第4期) ◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys1.dyndns.org)(xys888.dyndns.org)◇◇