◇◇新语丝(www.xys.org)(xys3.dxiong.com)(www.xysforum.org)(xys2.dropin.org)◇◇   逻辑思维的登峰造极——康托关于无限的理论   作者:常春藤   [前言] “自然辩证法能不能指导科学研究”的网上讨论深入到对恩格斯 总结的三大法则是否具有科学性的辩论后,特别是深入到”芝诺悖论”,”物体运 动本质”等哲学命题的辩论后,常出现一些同无限有关的论断,诸如”无限和有限 是一对矛盾的统一”,”无限和有限可以互相转化”等,一时难以辨清,征诸恩格 斯原著<自然辩证法>(手稿),也只有”无限既是可以认识的,又是不可以认识的” 之类空泛的论述,无可操作的规矩.但实际上无限并不是可以被左右逢源地任意解 释,几乎就在恩格斯写他的<自然辩证法>(手稿)同时,他的同胞格奥尔格-康托 (George Cantor, 1845--1918)对无限的研究已经取得了惊世的成就,被国际数学 领袖大卫-希尔伯特(David Hilbert, 1862—1943)尊为”纯粹理性范畴中,人类 活动取得的最高成就之一”.康托的研究还导致整个数学基础重建,此番伟业已记 入人类科学思想发展的历史.但哲学界朋友对此了解的不多,也就影响到涉及无限 的哲学命题真伪的探讨.为此,笔者介绍康托有关无限研究中的几个基本问题和由 此引出的推动20世纪数学发展的重大课题.以此了解数学如何揭开几千年来笼罩 在无限头上虚无缥缈的面纱,领略逻辑思维的强大威力,共享”化空泛议论为严密 推理”的成功经验,深愿对深入探讨”自然辩证法三大法则”是否属于科学思维 有所启示.   * *   无限(infinite)是人类理性思考中很早关心的一个题目.最初的理解是”数 不尽”(countless),例如在印度,人们索性用”恒河沙”来称呼无限,就是多得数 不尽的意思.在中国则把它同”没完没了”(endless)相联系,庄子就有”一丈之棰, 日取其半,万世不竭”之说,颇有哲学思维.但几千年来, 对无限的理解一直未能 走上科学思维的道路,只有朦胧哲学概念的重复,究其原因有二:   1. 没有给无限下过精确的定义,尽是感性化的描述;   2. 没有找到有效处理无限的工具,无法进入实质性解剖;   进入牛顿时代,微积分中极限,无穷级数等基于”无穷过程”的概念和处理方 法出来后,很多学者把”量的无限”同”过程的无限”混在一起,放弃了对”量的 无限”本质的探讨.这些问题只有在康托发表关于无限研究的一系列文章后,才获 得突破性的进展.下面通过关于无限的三个基本问题的介绍,一窥康托开辟的无限 天地的神奇,并以我们身边的一个世纪难题,领会康托研究的平凡与深燧.   ”有限”,”无限”都是数量意义上的描述语,说的是集合的量的基本表征, 下面的介绍就借助集合概念展开.   所谓集合是指可以被思考的,彼此可区别的对象组成的集体,常记为{….},它 的个体称为元素,集合的部分称为子集合.   首先要考虑的是集合之间怎样比较. 有限集合可用元素个数做比较,哪个多 哪个少有明确的答案;但无限集合之间如何比较? “ 如: A = {1, 2, 3, 4,…., n, n+1, ….}, B = {2, 4, 6, 8,….,2 n, 2(n+1), ….},以及 C = {2^1, 2^2, 2^3, …, 2^n, 2^(n+1), …} 都是无限集合. 它们中谁的元素个数”多”?谁的” 少”?好象A最”多”,B其次,C最”少”. 但它们之间却能建立一一对应,把它们 说成”一样多”似乎更合理一些.可见进入无限领域后,”多”与”少”的”比较 手段应被一个”视野更高”的所替代.19世纪70年代,德国数学家G. Cantor提出 把两个集合(有限或无限)之间能否建立一一对应关系作为集合之间比较的手段:   两个集合,若它们的元素之间能建立一个一一对应关系,则称它们对等的 (equivalent),或称有相同的势(Cardinal number),不然就是不对等的,或称有不 同的势.显然这种对等关系把有限情况下的个数相等也涵盖了.   特别称能同整数集合Z = {1, 2, 3, …., n, n+1, ….}建立一一对应的集 合(当然是无限集)称为”可列无限集”,所谓”可列”是指可以把元素依一定规 则”一个个排起队来,任何两个中间不会有其它一个”的意思. 依照Cantor, 可 列无限集合的势常记为Aleph_0(注:Aleph为德文花体--即希伯来文的一个字母, 相当于英文字母中的大写N).   任何无限集合A中必含有一个可列无限的集合.这是因为可从A 中一个一个地 取出元素:a_1, a_2, a_3, …a_n,,且永远也拿不完, 它们组成了集合 A_0 = {a_1, a_2, a_3, a_4, …, a_n, a_(n+1), …. },并它可同整数集合 Z 建立一 一对应.因之是可列无限集合. 由此出发,可以证明一个集合为无限集的充分和 必要条件是,它能同它自己的一个真子集建立一一对应(证明不难,在此从略).这 个充要条件就用来做为无限集合的定义,它不存在任歧义的表述.例如,前面的集 合A,B,C中, B, 和C都是A的真子集,而A同B,C, 都可以建立一一对应, 因此A是无 限集合.   无限集合研究中首先要回答的问题是:是否存在不对等的无限集合(它们之间 无法一一对应)?对此, G. Cantor于1874年证明了这样的一个定理: “线段[0,1] 中全体点的组成无限集合R同全体整数组成的无限集合 Z = {1,2,3,4,…,n, n+1, n+2,…}之间不能建立一一对应”,也即[0,1]中的点的全体不是可列无限集.   由于这个定理在认识无限中的特殊重要性,下面为它写出证明.   将[0,1]中的点都用10进制无限位小数表示( 有限位小数者,后面全部添上零, 并约定0 = 0.00000…;1 = 0.99999…. ).今假设定理不真,即[0,1]间全体小数 能同全体整数集合Z = {1, 2, 3, 4, …, n, …}存在一种一一对应, 譬如说:   1 ---- a_1 = 0.472901862954….,   2 ---- a_2 = 0.326783593105….,   3 ---- a_3 = 0.578329673012….,   …………..   但在[0,1]中可找到这样的一个数a = 0. x_1x_2x_3….:,它的第一位数x_1 与与a_1的第一位数4不同; x_2与a_2的第二位数2不同; 位数x_3同a_3中的第三 位数8不同; …., 它的第n位数x_n同a_n的第n位数不同; …..这样的a 是存在的, 例如 a = 0. 214….就符合要求,可见上面的对应并没能把[0,1]中的全部点对应 完,即[0,1]不能同Z = {1, 2, 3, 4, 5, ….}一一对应. 这说明[0,1]中的全体 的点组成了比Z无限程度更”高”的无限集合. 这就完成了定理的证明.   这个定理让人类第一次知道了: ”无限的全体不是一个朦胧的一团,它们之 间是有本质区别的”. 依照Cantor,今后常把[0,1]中的全部点的集合的势称之为 连续统的势,并记为c.   无限集合第二个基本问题是:是否存在最大的无限集合,下面的叙述给以否定 的回答.但先要介绍从一个集合得到它的导来集合的概念:   对一个集合A的全体元素,依所有可能方式组成A的子集,再把它们看成一个新 的集合的元素, 这个新的集合.称之为原来集合的导来集合(Derivative Set),常 记为D,而原来的集合称为原始集合(Native Set).显然原来集合是它的导来集合 的一个特殊的元素.   例: 若A = {1, 2, 3},则A 的导来集合D为{{E},{1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}.   若原始集合为有限集合,它的导来集合也必是有限集合,只是所含元素数量会 增加;但若原始集合是无限集合,则导来集合也是无限集合,其无限程度当然不会 降低.然而能不能同它原来的集合一一对应呢? 若不能,就说明从任何无限集合可 导出无限程度更高的无限集合.对此,康托尔在1883年证明了一个定理.”原始集 合(不论是否无限)不能同它的导来集合建立一一对应”.这是集合论中极其重要 的一个定理,为此写出证明.   设A为一个集合(不管有限或无限), D为它的导来集合,若A 同D能建立一一对 应关系,使得A 的任何一个元素a 对应于D 的一个元素(实际上是A 的一个子集) d_a, 于是:   (1), a 属于D_a, 和 (2), a 不属于 D_a   这两个关系必有一个成立.   记集合A中使得关系(2)成立的元素a的全体为 d^*, 它必不为空集合.因若不 然, 关系(1)对A的所有元素成立. 取A的a, b两个元素组成A的一个子集, 记为t, 它是D的元素, 理应对应A的一个元素,非a, 即 b. 设为a, 它也是A确的一个子集, 因而也是T的一个元素, 它必定对应于A的a, 因之, A的a 既对应于D 的(a, b), 又对应于D 的a, 这就矛盾. 因而A中元素适合关系(2)所组成的集合d^*不是空集.   因d^*是A的一个子集合,因而也是D的一个元素, 于是A 中必有元素a^* 与 d^* 对应. 在这对应下, a^* 属于d^*, 或者a^*不属于 d^*, 两者居一.   1, 若 a^* 属于d^*, 则由d^*的构成, 它的元素按规定,都不能属于d^*;   2, 若 a^* 不属于d^*, 则由d^*的构成, 它的元素按规定,都应属于d^*;   到此左右碰壁,其原因是认为A 同A的导来集合D一一对应.可见前提不确. 证 明完毕   显然任何集合A的导来集合D的势不可能小于A的势,因此这个定理即说明任何 集合的导来集合具有更大的势. (注意:在元素个数有限的情况,例如为n, Cantor 定理说的是一个常识: 2^n > n)   Cantor定理说明存在无限程度(无限集合的势)一个高于一个的无限集合,而 不存在无限程度最高(势最大)的无限集合.   前面两个基本定理中,” 线段[0,1]中全体点的无限集合C同全体整数构成的 无限集合 Z 之间不能建立一一对应”说的是一个具体的结论:”无限集不是铁板 一块”;而后面的一个定理说的是一个抽象的原则: “不存在无限程度最高的无 限集合”(细心的读者可发现前面一个定理是后面定理的特例). 这两个定理帮助 澄清了关于无限常见的一些模糊理解.例如:   1. “无限是由有限生成的,例如: 1, 2, 3, 4, …, n, n+1, n+2, …., 生成无限”.   不对! 实际上这样依靠扩展的方式只能生成可列的无限, 而[0,1]中全体点 就不可能靠点的无限选取的办法得到,因为它只能得到[0,1]中的可列无限的点集, 不能同[0,1]中全体的点一一对应.更何况[0,1]中全体的点组成的集合的导来集 合更加不可能从有限经扩展而生成.   2. “[0,1]线段上的点是无限的,但装在有限长的线段上,说明无限和有限 可相互转化”.   不对! 即使不去追究”无限到有限转化”的准确含义是否科学,拿线段上的 点的全体作为无限的集合的代表也完全不对.因为从线段[0,1]的全体点出发可得 到无限程度更高的无限集合,更可依同样办法(导来集合)无休止的得到无限程度 更高的无限集合,这些无限集合无论如何不能用线段上的点集表示出来,或者说不 能装进有限的线段中.   3. “稠密的无限比稀朗的无限程度来的高”.   不对!从解析几何知识可知,直线上的有理点是稠密的(即任何两点之间必然 存在无穷个有理点),而整数点却是稀朗的.但它们之间可以建立一一对应(Cantor, 1874),它们的无限程度是一样的,它们的势都是Aleph_0. 即使是分布更稀朗的无限点 集,例如坐标为:(1000)^1, (1000)^2, (1000)^3, ….,(1000)^n, …., 的点的 无限集合,它的无限程度同稠密的有理点集合一样,它的势也是Aleph_0.   4. 又如长度为1的线段上的点的全体能同平面上边长为1的正方形中的点的 全体建立一一对应,也能同空间中边长为1的立方体中的点的全体建立一一对应 (Cantor, 1877),而由解析几何知识知道边长为1的立方体中点的全体能同整个三 维空间中的点的全体建立一一对应.因此结论竟然是:长度为1(mm)的线段中的点 的全体能同整个宇宙中的点的全体建立一一对应,真是匪夷所思,但却有严格的证 明,人们不得不接受.   下面不加证明的介绍无限集合的第三个基本问题,它是一个很大的题目,它的 解决高度抽象,但它让无限作为一个整体完全暴露在人类思维的视野之中.   已经知道从一个无限集合出发,不停的作导来集,可以得到无限程度不断升高 的无限集合的系列.无限程度最低的可列无限集合的势为?_0,由导来集合的作法, 参照有限集合的情况,把导来所得的集合的势,形式地依次记为Aleph_0, 2^(Aleph_0),…, 2^(2^…(2^ Aleph_0)…), ….   Cantor(1883) 提出的如下的问题:   是否存在着无限集合的序列 A_1, A_2, …, A_i, A_(i+1), 它们的势是递 增的,且相邻两个无限集合之间不存在其它本质不同的无限集?   同年,Cantor 回答了自己提出的问题:   存在并可以构造无限集合的序列 A_1, A_2, …, A_i, A_(i+1), 它们的势 是递增的,且相邻两个无限集合之间不存在其它本质不同的无限集.   称此无限集合的序列为Cantor序列,记它们的势为Aleph_0, Aleph_1, Aleph_2, …, Aleph_i, Aleph_(i+1), ….它们中间再也插不进一个其它的势.   这样的无限集合序列虽然触摸不到,但它们是可被人类思维掌握. 真正无限 的还是人类逻辑思维的威力!   然而, Cantor于1878年更提出了一个就在我们每一个人身边的问题:   [0, 1]线段中全体点组成的集合是Cantor序列中的哪一个?下面就是著名的 连续统假设:   Cantor连续统假设(Continuum Hypothesis, Cantor, 1878提出,1883年改写 ): c = Aleph_1.   就是说在[0,1]点集和全体整数组成的点集这两类无限集合之间,不存在别的 同它们不对等的无限集合.   Cantor连续统假设任何具有初中数学基础的人都能理解,但证明假设为真,可 望而不可即.   1901年夏天在巴黎科学院大厅召开的第二次国际数学家大会上,国际数学权威, 德国数学家大卫-希尔伯特(David Hilbert)受命向大会提出20世纪最值得研究的 23个数学问题的报告中,就把Cantor连续统猜想列为20世纪中最值得全世界数学 家全力解决的23问题的第一位.不仅是由于它的深刻,逻辑结构的美丽简洁,更由 于它的重要.事实证明,对它的研究,导致了对全部数学基础重新公理化改造.直到 1964年, Cantor所提的”c = Aleph_1”的假设为美国科学院院士,保尔-科恩 (Paul Cohen)解决,其答案竟然是” 连续统猜想c = Aleph_1成立与决定于采用怎 么样的的公理系统界定集合的概念”.其中关键的一个公理(选取公理)用通俗语 言解释就是:”对一个集合的子集合构成的集合可以视为可以考虑和可以识别的 对象”.科恩因此获得1996年菲尔茨大奖.   科恩的解决距离第二次国际数学家大会宣布Cantor连续统假设为20世纪23个 最值得研究问题的第一问题历时64年.Cantor对无限登峰造极的研究,人类征服无 限的成就也就此定格,人类终于摆脱笼罩在无限头上的面纱,人类感谢伟大Cantor.   在此必须写出为人类揭开”无限”这个奥秘的Cantor的悲惨结局.他竟为他 创立的罕世功绩受尽一班权威们空前的打击,以致他在三十九岁那年(1884)便开 始神经失常,此后时愈时发, 但他的思想终于大放光彩.1897年举行的第一次国际 数学家会议上, 他的成就得到承认,伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工 作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作 ”,但这时康托尔神志恍惚, 不能 从人们的崇敬中得到安慰.1901年国际数学大会把他著名的连续统猜想列为20世 纪中最值得全世界数学家全力解决的23问题的第一位消息传来时,他已经失去控制, 此后终年困于哈雷(Halle)大学(在德国东部Halle市, 临近莱比锡--Leipzig)精 神病院, 直到老死.但崇尚科学的德国人没有忘记他, 哈雷市的市志在<本市生活 过的名人栏>中郑重地写上”1918年,G. Cantor在本市去世”,以纪念他们曾接待 过的这位罕世的天才和对他不幸的一生表示默哀.   * * * *   [结束语] 虚无缥缈的”无限”困扰了人类几千年,只是由于数学家的加入, 短短的七,八十年中,竟让它变得如此实在,,究其成功的原因:1,为正确理解无限 给了一个数学的定义,2,为有效处理无限找到一个数学的工具.由此突破空泛概念 的重围而大步前进.后人从此得到启示:任何有生命力的学说,离不开概念的准确 和推理的精确.”概念模糊不清,命题模棱两可”的学说,可以用学术之外的力量 盛极一时,最后终究无法摆脱时代弃儿的结局. (2009,01,27)   ------------   参考资料:   1. Cohen, P.J. Set Theory and the Continuum Hypothesis, New York: W.A. Benjamin Inc., 1966.   2. Cohen, P.J. Non-Cantorian Set Theory. Math. In the Modern World, M. Klein (ed.), 1969.   3. 陈建功. 实函数论. 科学出版社, 1978   4. Dauben, J.W. George Cantor. His Mathematics and Philosophy if the Finite, Princeton University Press, New Jersey, 1990 (XYS20090129) ◇◇新语丝(www.xys.org)(xys3.dxiong.com)(www.xysforum.org)(xys2.dropin.org)◇◇