◇◇新语丝(www.xys.org)(xys3.dxiong.com)(www.xysforum.org)(xys2.dropin.org)◇◇

　　引力与熵——澄清被一些科普书弄混乱了的熵概念

　　作者：abada

　　常见科普书上说，熵，就是混乱程度的量度，一个系统越对称，就越混乱，
熵就越大。这无疑给了众多的不求甚解者以艺术般的幻想，以至于跨学科地误用
和错用熵概念的现象泛滥。

　　有个问题，即是很多物理学专业的学生，也常搞错。这个问题就是：一盆脏
水，搅浑后封闭起来作为状态0；在地球上不管它，浑水会自然澄清，分层，这
是状态1。问：从状态0到状态1，熵是增加了，还是减少了？

　　很多人会认为熵减少了。甚至一些物理学家也犯这个错误，在科普作品中说
引力是能抵抗熵增的，所谓熵增定律带来混乱，而引力可能抵抗熵增而带来秩序。

　　果真如此吗？当然不是。热力学第二定律，在引力下一样表现的很明显，引
力丝毫不会导致熵减。只是人们头脑中被科普灌输了错误的熵图像而已。

　　先说一个规范。物理学家在看到自由落体下落的系统的时候，发现落体动能
在增加，但这时他绝不会说：由于落体的动能在增大，所以能量不守恒，能量在
增大。而是说：自由下落系统的总能量是守恒的，因为势能转化为动能，动能才
因此增加。保守力提供了势能，或势场，这是始终要考虑去的能量形式。我们说
封闭系统的时候，始终就把势能（势场）封闭进去考虑了。势能场是不能随意中
途加入或移除的，除非你额外输入能量—你不能不做功而把地球上的物体送入无
引力场的太空中去。

　　同样，严肃的物理学家，针对脏水澄清现象，决不会说：考虑地球，则熵增；
如果不考虑地球，则脏水系统是熵减的。说到熵，一开始就要考虑各种能量分布
形式的影响，包括势能。

　　熵在历史上有两种定义，一种是克劳修斯的热力学宏观定义，一种是波耳兹
曼的微观定义。这两种定义是协调的，没有矛盾。微观定义可以为宏观定义提供
几率解释。

　　我们先从宏观热力学上看脏水澄清系统的变化。脏水自然澄清时，比重大的
泥沙会下沉，这导致系统的重心下移。系统的总势能是这样计算的：系统重心的
高度x 系统的重量：

　　U（势）=Mgh

　　系统重心下移，意味着系统的总势能减少了。既然是封闭系统，意味着总能
量是守恒的。那么减少的势能到哪里去了呢？转化为粒子无规则的热运动，即热
能了。这样，根据不可逆过程的热力学熵的定义式：dS>dQ/T，热量增加即dQ>0，
所以熵增 dS>0，熵增定律成立。

　　很多人感到奇怪之处就在于：脏水澄清的过程，不是使系统更有序了吗？你
看，本来是混乱的浑水，现在分层了，有秩序了，难道不是这样吗？

　　这是试图从熵的微观概念出发想问题，但可惜的是，这样的直觉式的熵概念
是错误的。

　　微观的熵概念，或波耳兹曼的熵概念，不是单指粒子在三维几何空间中分布
的混乱程度；而是指粒子在一定外场势能分布条件下，在粗格化的“相空间 ”
--包括所有粒子的位置维度和动量维度的数学空间--中的分布的混乱程度。简单
地说,粒子在相空间中对称(或混乱)与否,不是只看粒子的位置分布,而且还要看
粒子的动量、能量分布状态。一个简单的例子是:一些在同一水平面上的空气分子,
即使它们在平面空间上的所处位置来看是分布均匀的,但只要它们的动量或能量
分布不均匀,那么它们在相空间中的分布就是不均匀的、不对称的或者说是较有
序的、较不混乱的。系统的这个“混乱”程度，即波尔兹曼熵，有严格的计算方
法，其结果可能完全不同于人们的几何直觉印象。

　　波尔兹曼熵定义是：S=klnΩ

　　其中S是封闭系统在某种状态下的熵，k是常数，而Ω是指这种状态下的微观
态数目。

　　我们不要怕麻烦，一定要用图形，找出脏水澄清前后的微观状态数的变化，
如果微观状态数变大了，就说明系统的熵增加了，也可说明与热力学宏观定义的
理解不矛盾了。

　　为了简便，我们假设简单的粒子情况，这个模型推广到极多粒子情况也完全
适用。

　　1）假设脏水系统有3个粒子，一个是泥沙类的重粒子，另外两个是水分子。
假设重粒子的质量是水分子的2倍，我们把它称为(2a)，重量为2；而把其中一个
水分子称为a1，把另一个水分子称为a2.  每个水分子的重量都是1。

　　2）假设脏水混沌后为封闭系统，总能量守恒，总能量为9个单位。就是说，
(2a)，a1和a2三个粒子的总能量是守恒为9的。再假设三粒子除了自身的动能和
重力势能，别无其他能量。

　　3）各粒子的空间高度可以为1m,2m或3m，在这些之间的高度要做四舍五入，
有微小的差别可视为全同。这叫把空间或势能粗格化。

　　4）设各粒子的动能可分别为0，1，2，或3…等，在这些之间的动能取值要
做四舍五入，有微小的差别可视为全同。把动能粗格化。

　　5）粒子位置空间只考虑1维的情况, 即粒子的位置区分只有上下而没有前后
左右。

　　先假设重粒子(2a）在系统的最上层，3m处占据。图中，符号“a1->1”，表
示此状态下粒子a1的动能为1。每个系统态图的右边的数字，是每个高度上的能
量分布，它等于此层上所有粒子的（动能+势能）的和，每个粒子的势能的计算
方法是其重量乘以高度。

　　我们先看重粒子(2a）在系统的最上层的情况下，系统粒子不同能量分布的
微观态的几种可能性：


　　微观态1：

　　第3m层：(2a)->0----------此层动能=0，势能=2x3=6, 总能量=6
　　第2m层：无粒子-----------此层动能=0，势能=0, 总能量=0
　　第1m层：a1->0, a2->1-----此层动能=0+1=1，势能=1+1=2，总能量=1+2=3


　　微观态2：

　　第3m层：(2a)->0----------此层动能=0，势能=2x3=6, 总能量=6
　　第2m层：无粒子-----------此层动能=0，势能=0, 总能量=0
　　第1m层：a1->1, a2->0-----此层动能=1+0=1，势能=1+1=2，总能量=1+2=3


　　微观态3：

　　第3m层：(2a)->0----------此层动能=0，势能=2x3=6, 总能量=6
　　第2m层：a1->0------------此层动能=0，势能=2, 总能量=2
　　第1m层：a2->0------------此层动能=0，势能=1，总能量=1


　　微观态4：

　　第3m层：(2a)->0----------此层动能=0，势能=2x3=6, 总能量=6
　　第2m层：a2->0------------此层动能=0，势能=2, 总能量=2
　　第1m层：a1->0------------此层动能=0，势能=1，总能量=1


　　微观态5：

　　第3m层：(2a)->1----------此层动能=1，势能=2x3=6, 总能量=7
　　第2m层：无粒子-----------此层动能=0，势能=0, 总能量=0
　　第1m层：a1->0, a2->0-----此层动能=0，势能=1+1=2，总能量=2


　　可见在重粒子(2a）在系统的最上层的情况下，系统不同能量分布的微观态
有且只有上面所示的5种可能。 读者可以检验：任何局限在此空间中的、这三粒
子的其他的势能或动能分布，都不会使总能量为9。

　　注意，即使只考虑高度上的1维空间, 一个动能不为0的粒子, 某个确定的动
能也可对应两个确定的动量, 这两个动量大小相等、方向相反, 因为动量的方向
有朝上和朝下的两种可能。于是，相空间(位置和动量空间)中, 总微观态数目, 
比单纯考虑能量分布形式的微观态数目要多。计算方法是: 每1个能量分布态, 
若其中3个粒子动能都为0, 则其对应有1种动量分布; 如果3个粒子只有1个动能
不为0, 则其对应2种动量分布; 如果动能有2个不为0, 则对应4种动量分布;如果
3个粒子动能都不为0, 则对应8种动量分布。

　　参考各种能量分布状态再计算这种情形下相空间（能描述所有粒子的各种不
同位置和不同动量的数学空间）的微观态可知：

　　一个重粒子在3m处的条件下, 系统微观态数应是Ω=8，即熵S=kln8. 

　　以上相当于重力场中的浑水状态，状态0。


　　再看类似重粒子下沉，脏水澄清的情况下的熵。只要假设重粒子在最下层即
可。实际上，还有此1重粒子伴随1个水分子同时在最下层的情况，我们暂且不考
虑。 我们将知道，即使只考虑一个重粒子在最下层的情况时， 这种情形的分布
可能性，也要比重粒子在最上层的情况，可能性或几率要大的多。 

　　重粒子(2a)在最下层即1m处的不同能量分布形式下的微观态（粒子系统总能
量仍恒为9）:

　　微观态1：

　　第3m层：无粒子----------------动能0，势能0
　　第2m层：a1->0, a2->3-------动能=0+3=3，势能2+2=4，此层总能量=3+4=7
　　第1m层：(2a)->0--------------动能=0，势能=2，此层总能量=2


　　微观态2：

　　第3m层：无粒子
　　第2m层：a1->3, a2->0
　　第1m层：(2a)->0


　　微观态3：

　　第3m层：无粒子
　　第2m层：a1->1, a2->2
　　第1m层：(2a)->0


　　微观态4：

　　第3m层：无粒子
　　第2m层：a1->2, a2->1
　　第1m层：(2a)->0


　　微观态5：

　　第3m层：a1->0
　　第2m层：a2->2
　　第1m层：(2a)->0


　　微观态6：

　　第3m层：a2->0
　　第2m层：a1->2
　　第1m层：(2a)->0


　　微观态7：

　　第3m层：a1->2
　　第2m层：a2->0
　　第1m层：(2a)->0


　　微观态8：

　　第3m层：a2->2
　　第2m层：a1->0
　　第1m层：(2a)->0


　　微观态9：

　　第3m层：a1->1
　　第2m层：a2->1
　　第1m层：(2a)->0


　　微观态10：

　　第3m层：a2->1
　　第2m层：a1->1
　　第1m层：(2a)->0


　　微观态11：

　　第3m层：a1->0，a2->1
　　第2m层：无粒子
　　第1m层：(2a)->0


　　微观态12：

　　第3m层：a1->1，a2->0
　　第2m层：无粒子
　　第1m层：(2a)->0


　　微观态13：

　　第3m层：无粒子
　　第2m层：a1->0，a2->2
　　第1m层：(2a)->1


　　微观态14：

　　第3m层：无粒子
　　第2m层：a1->2，a2->0
　　第1m层：(2a)->1


　　微观态15：

　　第3m层：无粒子
　　第2m层：a1->1，a2->1
　　第1m层：(2a)->1


　　微观态16：

　　第3m层：a1->0
　　第2m层：a2->1
　　第1m层：(2a)->1


　　微观态17：

　　第3m层：a2->0
　　第2m层：a1->1
　　第1m层：(2a)->1


　　微观态18：

　　第3m层：a1->1
　　第2m层：a2->0
　　第1m层：(2a)->1


　　微观态19：

　　第3m层：a2->1
　　第2m层：a1->0
　　第1m层：(2a)->1

　　上面是重粒子(2a)在最下层即1m处的不同能量分布形式下的微观态的所有可
能分布。要保证粒子系统的总能量（动能+势能）为9，粒子能量只有这19种分布
可能性。

　　再依照这19种能量分布可能，计算它们在相空间(包括位置和动量)中的所有
可能的微观态，可知这时粒子系统微观态数Ω=64，即熵S=kln64. 

　　这个Ω=64远大于重粒子在最上层的可能的微观分布可能数Ω=8. 说明重粒
子在引力场中位于下层的分布几率远大于其在上层的系统分布几率.

　　以上相当于重力场中的浑水澄清后的状态，状态1。显然这种情况下的熵，
比重粒子在上的浑水状态的熵要大。

　　注意，这个微观态解释的直观重点是: 

　　重粒子如果在上方,就会占据更多的能量(势能太大),而由于系统总能量守恒,
其他轻粒子的能量和动量的分配可能性就减少了,微观态就少; 相对地,重粒子如
果在下方,就会占据更少的能量(势能占据小),而由于系统总能量守恒,其他轻粒
子的能量和动量分配可能性就增加了,微观态就多。

　　结论: 重粒子在下,有更大的分布可能性和几率。

　　所以重力场中浑水澄清的过程是朝微观态数目多、几率大的方向发展的,即
熵增的过程。

　　从熵的微观解释看，熵大就是这种粒子分布状态的概率大。热力学第二定律，
即熵增定律，就是预言系统将从概率小的分布状态，朝着概率大、可能性多的分
布状态变化，朝着最可几的状态演化。

　　最后说说为什么很多人以为澄清分层的水更有序，熵更小。这是一种错觉，
或对熵的片面理解，甚至误解导致的。错觉可能来自于无引力场的分布情况：在
无引力场，或引力场的水平截面（等势能面）上，熵大常常意味着粒子在位置空
间几何排列上的更无序，或更对称。 但这种直觉是不能任意推广的。

　　最后要说的是: 引力不会导致熵减, 这在霍金的黑洞热力学中也成立. 霍金
的公式说黑洞的熵与黑洞的视界面积成正比--而黑洞的视界面积总在增加. 于是
热力学第二定律--熵增定律毫无例外地适用于黑洞--有巨大引力的地方。

(XYS20090509)

◇◇新语丝(www.xys.org)(xys3.dxiong.com)(www.xysforum.org)(xys2.dropin.org)◇◇