◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.3322.org)(xys.freedns.us)◇◇ 勾股定理的数值计算 ——小议东郭先生《再谈〈算数书〉》 wanderor 关于勾股定理的讨论进行了这么久,一直是围绕其一般形式的表述及其证 明来进行的,这是我们现代人的视角。也许对于大多数古代文明来说,这 些形式化的论述都不如具体的数值计算来得重要——古印度人的“面积” 表述在形式上或许完美,但对于手握直尺的工匠而言,纯属废话。东郭先 生以为“如果那个时代的人知道勾股定理,应当不会用这种近似算法”, 纯属想当然。 《周髀算经》就提供了一个饶有趣味的例子。在“陈子测日”中,一方面 对勾股定理的一般形式作出了准确表述,另一方面却仍然要“候勾六尺”, 还是要等到凑成(6,8,10)的勾股数后再计算。看到这里我忍不住替古 人操心,万一不早不晚飘来一朵乌云遮住太阳,又当如何是好呢。毕竟, 古人没有计算器,甚至也不懂得无理数的概念,所以勾股定理对于实际应 用的指导意义并不如我们今天想象得那么大,反倒是勾股数和有理数近似 的数值计算来得更实用一些。 据我所知,诸古代文明中,在勾股数与近似计算方面成就最高的当推古巴 比伦。在一块出土泥版上足足刻有15组勾股数,其中一组是(13500, 12709,18541)。古巴比伦人还发明了这样的近似计算公式:对于直角边 长分别为a、b (a >= b)的直角三角形,其斜边长为a + b ^ 2 / 2a。这 实际上是Taylor级数的一阶展开,当a >> b时可达到相当高的精确度。古 巴比伦人在勾股数与近似计算上取得了如此辉煌的成就,如果说他们不懂 得勾股定理,那才是令人惊讶的。然而,我们还真没发现古巴比伦人表述 过勾股定理的一般形式。[1] 现在回到中国数学。据东郭先生转引,《算数书》描述了一种从等腰直角 三角形斜边长c求其直角边长a的方法:a/c = 5/7。东郭先生对此的评价是 “都到了这个份上了”,鄙夷之意溢于言表。其实,这一公式固然不精确, 但却是一个相当好的近似。使用简单的连分式计算,我们可以得到a/c的一 系列有理数逼近值:1,2/3,5/7,12/17,……。越往后的近似值越精确, 但是也更复杂,更难使用,例如12/17意味着需要作二位数乘法和二位数除 法。前面提到的古巴比伦算法对应于2/3,计算等腰直角三角形的情形不是 它的强项。《算数书》给出的5/7是将分母限制为个位数时所能得到的最精 确的近似值,从这个意义上讲,它也是完美的。 东郭先生对此可能不屑一顾:知道了勾股定理,还用近似算法干什么,直 接开方不就完了嘛。现代人很容易忘记,根号二对于古人而言意味着什么 ——最早发现根号二的是毕达哥拉斯学派的弟子,为奖励这一伟大的发现, 同学们把他扔进大海去喂鱼。 [1] 参见大英百科全书之Mathematics in ancient Mesopotamia词条。 (XYS20050422) ◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.3322.org)(xys.freedns.us)◇◇