◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.3322.org)(xys.freedns.us)◇◇ 勾股定理的传说和故事 东郭先生   先就那个传说的爱因斯坦的"证明"向黎日工道歉。所谓"爱因斯坦的证明", 是虚构的。这个证明在网上早有流传。爱因斯坦当过德国《数学年刊》的主编是 对的,随便找一本《Mathematische Annalen》,就能在那上面找到他老人家的 大名。而且爱因斯坦还在这本杂志上发表过好几篇文章,不过当然不是勾股定理 的证明了。   再说说欧几里德几个命题相互的关系。《原本》第六篇命题31是对勾股定理 的推广。所以合理的顺序是先证勾股定理,再来证明这个命题。这也是《原本》 所采用的顺序。"相似图形面积之比等于对应边长比例的平方",是一个远比勾股 定理更深刻的命题。欧几里德非常清楚这一点,所以相似的内容放在了第六篇, 而勾股定理是在第一篇。   欧几里德对《原本》第六篇命题31证明结构简述如下:   假设直角三角形为ABC,直角顶点为C,边CA记为b,   边CB记为a,斜边记为c。从C出发到AB做垂线,交斜边为D。设三条边上相似 图形面积分别为E(a), E(b), E(c)。   则欧几里德证明了E(a)/E(c)=BD/BA, E(b)/E(c)=AD/BA。因为BD+DA=BA。 所以E(a)+E(b)= E(c)。   这个证明虽然是勾股定理的推广。但是其证明并没有用到勾股定理。杀鸡当 然也可以用牛刀,所以这个证明也可以看作是勾股定理的一个证明。这个证明虽 然与网上传播的勾股定理的证明有一些出入。但是你只要注意到 BD/BA=a^2/c^2,AD/BA=b^2/c^2 就行了。所谓的爱因斯坦对勾股定理的证明使用 了两个小直角三角形拼成大的直角三角形这样一个很关键的性质。欧几里德在这 个为什么没有使用呢?很简单,欧几里德在这里考虑的是一般的多边形。而对一 般的多边形,并没有显而易见的视觉上的拼合。所以欧几里德代之以线段的拼合。 这其实是一种"提升"。看了欧几里德的这个证明,你很容易得到"爱因斯坦对勾 股定理的证明"。反之则不然。所以我才说"爱因斯坦对勾股定理的证明"其实是 属于欧几里德的。至于谁先想出"爱因斯坦对勾股定理的证明",我们可能永远也 不知道。但是就数学内容来说,这个"证明"是完全包含在了《原本》里面。任何 一个读过《原本》的人,都可以毫无困难的写出这个"证明"来。这个"证明"是对 欧几里德证明的"稀释",没有资格与欧几里德的证明并列。   最后说说为什么我没有提毕达哥拉斯对勾股定理的贡献。这是因为没有确凿 的证据能证明毕达哥拉斯跟勾股定理有任何关系。当然我不可能证明毕达哥拉斯 不知道勾股定理。但是也没有人能证明毕达哥拉斯知道勾股定理。毕达哥拉斯死 后500年内的所有古希腊文献,没有一处提到毕达哥拉斯和勾股定理有任何关系。 这500年内有很多著名的数学家和哲学家,像阿基米德,欧几里德,没有只言片 语提到毕达哥拉斯和勾股定理的关系。Proclus是《原本》的一个主要的注释人, 他在注里面说:"如果我们听听那些喜欢说古代历史的人,他们把这个定理归于 毕达哥拉斯,并且说他杀了一头公牛来庆祝。对我来说,虽然我欣赏(admire) 那个第一个观察到这个定理的人,我更叹服(marvel)《原本》的作者。不光是 因为他给出了清晰明确的证明,而且还因为他用无可置疑的方法在第六篇中证明 了一个更一般的命题。"Proclus是公元五世纪的人。在这个时候,他虽然没有说 毕达哥拉斯不知道勾股定理,但是也并没有认为这个传说有多大的可信度。后来 有很多学者都说勾股定理是毕达哥拉斯发现的,但是这些学者都是很晚的。   再到后来故事越说越奇,居然成了毕达哥拉斯杀了100头牛来庆祝。在乱弹 的文中居然还用发现大量牛骨头化石来说这事。可笑的是,如果真的这么轰动的 话,为什么毕达哥拉斯死后五百年内都没有人提起这事? (XYS20050503) ◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.3322.org)(xys.freedns.us)◇◇