◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.3322.org)(xys.freedns.us)◇◇ 　　我的心得——再看赵爽勾股定理证明 　　黎日工 　　讨论勾股定理中有两件事比较有趣。乱弹先生因为支持笔者意见，不料言多 有失，讲了两句不妥的话。受到调侃之后，乱弹先生特地写了“乱弹的检讨”， 此举相当幽默。笔者不知道是否还有第二人把“检讨书”贴上新语丝的？要说 “从善如流”，这才是从善如流吧。第二件事，匡耀求先生回忆，以前木匠出师 以拼好赵爽弦图为准，这真是中国人聪明实用的极佳事例。一个木匠如果光用榫 头能把弦图（即使不做最外面的大正方形）牢牢搭成框架，那当然是高手了！不 知街上那班洋钉胶水木匠闻此作何感想？ 　　勾股定理讨论到今天，新语丝已登出三十篇文章，使笔者知道了许多不知道 的东西，十分愉快。有的问题大概搞清楚了，也有的仍有不同看法，笔者在此将 几个主要的问题再谈一下： 　　第一个问题，赵爽注文主要内容（东郭先生提供的资料）： 　　“案弦图又可以勾股相乘，为朱实二，倍之，为朱实四。以勾股之差自相乘， 为中黄实。加差实，亦成弦实。” 　　“倍弦实满外大方而多黄实，黄实之多，即勾股差实。以差实减之，开其余， 得外大方，大方之面即勾股并也。” 　　是我们讨论“赵爽证明问题”的依据，这个清楚了。 　　第二个问题，根据赵爽注文，你可按以下步骤画出赵爽的图： 　　“先把一对直角三角形沿弦边拼成一个矩形，把四个一样的矩形围成一个正 方形（只有一种围法），于是四条弦边也围成一个正方形，弦边正方形中有四个 直角三角形及中间一个小正方形“洞”，这五小块面积加起来应等于弦边平方即 弦边正方形面积，于是就推出勾股定理：弦平方等于勾平方加股平方” 　　这个图的特点是有三个正方形：外面一个大正方形，中间是弦边形成的正方 形，里面有小正方形洞。当然，如果是等腰直角三角形，中间自然没有洞了。顺 便提一下，去掉外面的大正方形，就难以描述赵爽的图，如果讲“用四个相同的 直角三角形围成一个弦为边的正方形”，可能要翻来复去弄好多次才能成功，不 信你试试。 　　根据东郭先生的意见，以上带三个正方形的图应是赵爽原图。印度婆什迦罗 给出的图形则没有外面那个大正方形。 　　总之，赵爽的图是存在的，这一点没有不同意见了，我们把赵爽的图称为 “赵爽弦图”或“弦图”。 　　第三个问题，根据赵爽的注文及弦图，能够给出勾股定理的证明，这里“证 明”二字有争论，笔者下一问题回来讨论此事。 　　写到这里，看到约客先生的文章“赵爽用一张图两次‘证明’了勾股定理”， 非常有新意。原来赵爽注文两段话都是证明！笔者原来只知道赵爽弦图及赵爽注 文第一段话，所以搞不清楚外面那个大正方形何用？经约克先生一说，真是豁然 开朗。 　　大家都知道，在弦图中如果用：外面大正方形减去四个直角三角形等于弦边 正方形，也能推得勾股定理。但赵爽用的是出人意料的图形关系：四个直角三角 形加一个小正方形洞为一个弦边正方形；大正方形中共有八个直角三角形及一个 小正方形，如果再补一个小正方形则恰好为两个弦边正方形！赵爽这个眼光很奇 妙（很象拓扑学家！），这种独特的直观能力应能解决更多的难题。 　　笔者觉得这是勾股定理讨论以来最大的收获。 　　第四个问题，如何看待赵爽的工作？ 　　如果论对几何学的贡献，欧几里德当然超过赵爽。但是，如果从勾股定理这 件工作上看，赵爽证明可以与欧几里德证明相提并论。 　　理由是，我们找不出赵爽证明中的错误或矛盾。赵爽即使不知道几何公理系 统，但他的证明并没有因此带来实际上的漏洞。牛顿创立微积分（且不提莱布尼 兹），推导出很多结果，直到一百五十年后的柯西极限理论才弥补了牛顿的漏洞。 尽管如此，后人仍然承认牛顿的工作，牛顿积分公式还是牛顿的，并没有换成柯 西的名字。abada先生也提到过，就是欧氏几何，它的严格化、完备性及无矛盾 性，也是到希尔伯特等工作后才完成的。这是因为一个数学结果，严格、体系化、 完备化固然需要，但更重量的是它的意义、思想及创造性。实际上，我们现在可 能也在重复前辈的经历，我们努力创造或证明，但我们并不知道未来的理论框架 究竟如何变化，有的如赵爽弦图，没有错误或矛盾让未来发现；有的如牛顿微积 分，未来给我们弥补了漏洞；这些创造与发明都能继续流传下去，仍然富有生命 力。另外的就不幸了，被未来发现了错误或矛盾，或者漏洞暴露之后无法弥补， 那就只好等待淘汰的命运。 　　通过讨论，我们看到了赵爽工作的意义及创造性，一位千年之前的中国古人 竟然能独立给勾股定理一个，不，是两个如此直观简洁的证明，实在令我们后生 深深叹服！ 　　上面提到印度婆什迦罗的图，它没有赵爽弦图中外面那个大正方形。婆什迦 罗还给出勾股定理的其它证法，其中流传最为广泛的：作弦边的高线将直角三角 形一分为二，然后用相似形比例关系证明勾股定理，据说就是他的手笔。但是， 他似乎独钟情于图形证法，他把图画出，旁边仅写“请看”两字就了结了！你可 以想象他发现那图时是何等欣喜！数学界称他的图叫婆什迦罗图及婆什迦罗证法， 并没有因为他不说话，连理由都不讲，而否定他的工作。 　　如果有朝一日发现毕德哥拉斯的勾股定理证明，或者发现古巴比仑人的证明， 或者发现中国大禹时期的证明，我们将用同样的标准进行评价，只要它没有错误 没有矛盾，事实上也没有漏洞，那全世界一定十分兴奋，因为我们找到了人类对 勾股定理的更早证明！ 　　（完于2005年5月6日） (XYS20050508) ◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.3322.org)(xys.freedns.us)◇◇