◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.dropin.org)(xys-reader.org)◇◇ 关于“商高定理” wanderor 勾股定理,西方一般认为是古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯首 先发现和表述的,因而称之为"毕达哥拉斯定理"。然而很多中国人 却偏不服气,以为是勾股定理乃是咱老祖宗的发现,咱老祖宗才是世 界第一,主张"正名"为"商高定理"。有道理么? 先来看看勾股定理在西方的历史吧。 现有的两河流域考古发现残缺不全,还不足以确证古巴比伦人在 勾股定理上的成就。但它强烈的暗示我们,古巴比伦人已经发现了这 一定理。对于已知矩形的两边a、b求对角线c的问题,他们用近似公 式c=a+b^2/2a进行计算,当a>>b时,这个公式可以得到相当精确的计 算结果。古巴比伦人之所以采用近似公式而非精确公式,很可能是为 了避免无理数的出现(他们还没有无理数的观念),而不是因为他们 尚不知道勾股定理的正确形式。事实上,我们几乎可以肯定,古巴比 伦人业已发现了(120,119,169)、(13500,12709,18541)等一系列勾股 数(西方称毕达哥拉斯三元数。古人不懂得无理数,处理有理数也相 当费劲,因而整数形式的勾股数对于他们具有特别重要的意义),这 项成就是远远超过其他古代民族之上的。如果说古巴比伦人在勾股数 上取得了这样辉煌的成就,却不知道勾股定律的精确形式,那是不可 思议的。[1] 有确凿的证据表明,稍晚一些的古埃及人对勾股定理已有认识。 他们至少已经知道(3,4,5)和(5,12,13)这两组勾股数了。不过,这还 只是勾股定理的两个特例,古埃及人并没有表述出定理的一般形式, 更谈不上证明。事实上,无论古巴比伦人还是古埃及人都还没有形成 "一般形式"的观念,自然也就不可能将勾股定理清晰的表述出来乃 至给出证明过程了。 西方公认,是毕达哥拉斯(Pythagoras,约前580-约前500)首 先表述了勾股定理的一般形式,并予以证明。据说他还发现了生成勾 股数的一个算法。但是,我们也没有确凿的证据能够支持毕氏的冠名 权。事实上,如果我们假定毕氏定理不是毕氏本人的发现,而是他的 某个徒子徒孙发现后借用祖师爷的名字公诸于世,我们不会发现任何 矛盾。 我们可以确信的是,至少在欧几里得(Euclid,生活于公元前 300年前后)撰写《几何原本》(Elements)之时,古希腊人已经完 全掌握了这一定理。在这部伟大的数学著作中,第I卷命题47明确而 清晰的表述出勾股定理的一般形式,并给出了一个漂亮的证明——欧 几里得风车证明(中学课本中有介绍)。据说这个证明是欧几里得本 人作出的。另外,第I卷命题48还证明了勾股定理的逆命题。如果说 在哪个民族最先发现勾股定理这一问题上还存在着一些争议的话,勾 股定理第一个证明者的桂冠则毫无争议的戴在这个或者那个古希腊人 头上。 看完了西方,再来看看中国的情况。最早提到勾股定理的中国文 献是《周髀算经》。和很多中国古籍一样,这部书据说诞生于周朝, 但实际成书则要晚得多,大概是在战国年间,也有人认为迟至西汉末 年。这部书也许仅仅只是后人托古而作,但更有可能是某种原始版本 经长期流传后由后人编纂定形,至于这个原始版本能否上溯到周朝, 我们不得而知。《周髀算经》明确提到勾股定理的地方有两处,一处 是"商高曰",一处是"陈子曰"。如果《周髀算经》可靠的话,商 高比毕氏要早五百多年,陈子也要早上一两百年。 按照《周髀算经》的记载,商高告诉周公说:"……勾,广三, 股修四,径隅五。"这里仅仅给出了一组勾股数(3,4,5),没有给出 对定理一般形式的表述,也没有给出证明,但在某些中国人看来,这 已足以证明勾股定理应该叫"商高定理",足以为咱老祖宗争得又一 项"世界第一"的高帽子了。其实商高说得很明白,这可不是他本人 的发现,早在大禹治水时就用上了。不过中国人还算谦虚,没有据此 把毕氏定理"正名"为"大禹定理"。 《周髀算经》还有一处记载与勾股定理直接相关。陈子说:"候 勾六尺,……勾、股各自乘,并而开方除之,……"这段话差不多就 是对勾股定理一般形式的表述了。这样看来,如果有人要替咱老祖宗 跟毕氏争夺冠名权的话,打着陈子的招牌是比较合适的,虽然《周髀 算经》的记载也不见得比毕氏的传说更可信。 陈子的"候勾六尺"怎么理解?为什么要等到勾等于6了才开始 计算?有人怀疑老祖宗当时只知道(3,4,5)这一组勾股数。不过中国 的数学水平此后又有发展,稍晚一些的《九章算术》(也有人认为此 书的年代要早于《周髀算经》)给出了(5,12,13)、(7,24,25)、 (8,15,17)等七组新的勾股数,对于勾股定理一般形式的表述也更明 确、更清晰。到了三国时期,东吴的数学家赵爽在给《周髀算经》作 注时,匠心独运,以"勾股方圆图"(中学课本中有介绍)证明了勾 股定理,这也是中国人第一次证明勾股定理。 从以上事实看来,中国人要跟希腊人争夺勾股定理的冠名权,不 是一件容易的事情,而且也没多大意义。不过总有人喜欢在这类事情 上较"真",虽名家亦不能免俗。比如中国当代数学家、大名鼎鼎的 吴文俊院士,在一次国际大会报告中竟然说什么《周髀算经》中收录 了一般勾股公式的证明,是欺负人家看不懂中国字么——吴老是在新 加坡说这番话的,要是再多跑两步就到爪哇国去了。[2] [1] 参见大英百科全书之Mathematics in ancient Mesopotamia词条。 [2] 参见吴文俊教授《几何问题求解及其现实意义》。 补充说明: 这是我2003年9月发表在网上的一篇旧文,略有修改。 2005年4月参加新语丝讨论时曾使用文中部分资料,参见: 《乱弹走得还不够远》 2005/04/14 http://www.xys.org/xys/ebooks/others/science/misc/gougu11.txt 《勾股定理的数值计算》 2005/04/22 http://www.xys.org/xys/ebooks/others/science/misc/gougu21.txt (XYS20080426) ◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.dropin.org)(xys-reader.org)◇◇