◇◇新语丝(www.xys.org)(xys4.dxiong.com)(www.xysforum.org)(xys2.dropin.org)◇◇ 芝诺悖论与数学模型 作者:陈胜 芝诺悖论是一系列相似或者本质上相同的悖论,其中最著名当属阿喀琉斯与海龟 赛跑的悖论:阿喀琉斯是希腊神话中的神行太保,但是他永远不可能追上曾经领 先他的海龟。因为当阿喀琉斯到达原先海龟所在位置时,一段时间过去了,在此 期间海龟又跑到一个新的位置,而等阿喀琉斯到达这个新位置时,海龟又跑到下 一个位置。这样经历无穷多次的追逐(到达海龟曾经的位置),阿喀琉斯还是落 后于海龟。这样,看起来阿喀琉斯是永远无法追上海龟了,这与现实是相背的。 上面分析的无法追上还只是一个模糊的陈述,历史上曾有过比较精确的论证:无 穷多次追逐意味着无穷多段时间相加,而无穷多段时间相加则导致无穷大的时间 ,也就是永远。论证越清晰越容易验证或证伪,这一论证错误在于认为无穷多段 时间相加必定是无穷大,这一点已经在微积分里面得到很好的解决。 本来指出一个论点需要很清楚的论证过程,但有一些人对这个悖论就很纠结,无 法提出严格的论证以挑明矛盾,但就是有一种绕不过来的感觉:按照这样一种完 全合理的过程执行了无穷多个步骤都追不上,到最后怎么又追上了呢?无法想像 没追上与追上之间的那个步骤。像这种感觉,就属于数学模型障碍,我们理解这 个世界都是建立在一定的理想化的模型的基础上的,其中只要是精确的就是数学 模型,上述追逐的过程(阿喀琉斯不断到达海龟原先的位置,海龟则跑到新的位 置)就是一个数学模型,很精确没有模糊的地方,所以是不会出错的。但是问题 在于,这个模型不能够用于描述运动,或者运动是不能够用这样离散的对象来表 示的;这个模型可以表征运动在一些离散间隔内的现象,但是对于运动整体,这 一模型则无能为力了。这就是为什么一些人一直感到很纠结,无法想像的一个原 因。因为所谓的想像或者理解都是建立在理想化的模型的基础上,一旦现象超出 了模型所能表示的范围,就会出现理解与想像障碍,或者说有一种很纠结的感觉。 运动可以用时间与空间的对应来表示,或者说是用空间对时间的函数x=x(t)来表 示,这才是足以描述上述运动的模型。人一开始只能理解简单的模型,并用以描 述其所生活的现实世界,但随着对世界认识的进一步加深,那些简单的模型便不 够用了。这时需要引用新的足以描述现实世界的模型,尽管更复杂,但是本质上 和那些简单的模型却是一样的。并且,我们要注意我们也不能想当然地将x=x(t) 就当作运动本身了,虽然在目前可验证的范围内,这与运动符合的很好,但在一 些我们所不曾有过经验的地方,我们需要现代物理学为我们作出判断:或许我们 这一模型已经够用,或者,我们还需要提出新的模型。 有一些人在遇到自己的模型与现实世界冲突时,不去反思模型的适用范围,却反 而去否定逻辑,否定正常的论证的可靠性,这是非常愚蠢的。 2009年9月21日 ◇◇新语丝(www.xys.org)(xys4.dxiong.com)(www.xysforum.org)(xys2.dropin.org)◇◇