◇◇新语丝(www.xys.org)(xys4.dxiong.com)(www.xysforum.org)(xys2.dropin.org)◇◇   庄子智慧与芝诺悖论   作者:陆克武   前言:   近日读了陈胜的《芝诺悖论与数学模型》突然对芝诺悖论有了兴趣,希望能 找到简明直观的答案,让还在上小学三年级的女儿能够理解思维的乐趣。   另外,本文只使用小学数学,还请各位读者耐心看下去。   正文:   为了说明的完整还得引用题目:   赛跑的悖论:阿喀琉斯是希腊神话中的神行太保,但是他永远不可能追上曾 经领先他的海龟。因为当阿喀琉斯到达原先海龟所在位置时,一段时间过去了, 在此期间海龟又跑到一个新的位置,而等阿喀琉斯到达这个新位置时,海龟又跑 到下一个位置。这样经历无穷多次的追逐(到达海龟曾经的位置),阿喀琉斯还 是落后于海龟。这样,看起来阿喀琉斯是永远无法追上海龟了。   好,下面我们对问题进行简单的数学描述,为了简化,我们认为阿喀琉斯和 海龟都是匀速奔跑。   假设海龟领先阿喀琉斯C米,阿喀琉斯的速度为B米/秒,海龟的速度为A米/ 秒。(B>A>0,C>0)   阿喀琉斯到达原先海龟所在位置所用时间为:t1=C/B,海龟又前进了A×t1; 再追t2= A×t1/B=AC/BB;依次类推。   阿喀琉斯追赶所需总时间为:t = t1 + t2 + t3 + …= C/B ( 1 + A/B +A^2/B^2 + A^3/B^3 + … ) (公式1)   到这,其实答案已经有了,这是一道无穷等比数列,但是需要微积分知识, 暂停。接着往下想。   中国古代的庄子有一句非常有名的话“一尺之捶,日取其半,万世不竭。” 意思是一尺之杖今天取其一半,明天取其一半的一半,后天再取其一半的一半的 一半,如是“日取其半”,总有一半留下,所以“万世不竭”。   对庄子这句话可以这样理解:留下的部分不断累加直至无穷,但结果肯定等 于一尺。用数学描述为:1 = ((1 - 1/2) + 1/2×(1–1/2)+ 1/4×(1– 1/2)= 1/2 + 1/4 + 1/8 + …   我们再对这句话进行扩展,假设木杖长C/(B-A),每次截取剩余部分的 (1-A/B) (B>A>0,C>0),(有些假设挺别扭,但为了后面好比较也只好将就 了)数学表达为:   C/(B-A) = C/(B-A) ×( (1-A/B)+ A/B×(1-A/B)+ A^2/B^2(1-A/B)… )   = C/B ( 1 + A/B +A^2/B^2 + A^3/B^3 + … ) (公式2)   呵呵,公式2和公式1的表达式是相同的,而且两个公式中A,B,C的取值范围 也一致,即定义域相同,所以两个式子相等。   经过简单的数学变换我们发现,庄子截取木杖的思维竟是芝诺悖论的逆向思 维!   所以结论出来了,只要木杖的长度是有限的,阿喀琉斯追上海龟所需总时间 也是有限的,结果表达为:   t = t1 + t2 + t3 + …= C/B ( 1 + A/B +A^2/B^2 + A^3/B^3 + … )= C/B ( 1 + A/B +A^2/B^2 + A^3/B^3 + … )= C/(B-A)   当然,这么解题有一半是从结果倒推的(因为木杖长度是事前计算好的), 但是我得到的启示是古代中国哲人和希腊哲人(他们两人生活的时间也相差不大, 约100多年)都对无限的概念进行了大胆的探索,但方向是相反的,庄子是从有 限到无限,而芝诺是从无限到有限,有意思的是他们在无限处相遇啦。   注:   1、A^2表示A的2次幂,A^3表示A的3次幂;   2、参考陈胜的《芝诺悖论与数学模型》, http://xys4.dxiong.com/xys/netters/psi1b/chensheng.txt;   3、参考吴国增对“一尺之捶,日取其半,万世不竭。”的解释 http://zhidao.baidu.com/question/562976.html ◇◇新语丝(www.xys.org)(xys4.dxiong.com)(www.xysforum.org)(xys2.dropin.org)◇◇