相等——变化中的不变

　　作者：曾千里

　　让我们来考虑以下数学中的“相等”的概念。什么是数学中的“相等”呢？
同构是刻画数学中的“相等”的一个概念，同时也是代数中基本的重要概念，什
么是同构呢？让我们来看看下面的例子：

　　先看两段小故事:

　　一个女画家在飞机上被谋杀了。机上有好几个人都和她有过节。空姐和她的
男朋友还有张三一起侦破。 在5个小时的飞行途中，他们终于确定凶手是副驾驶
员。案情明朗后，凶手试图劫机冲向大海，但在驾驶员的帮助下，大家齐心制服
了凶手，成功降落。

　　一个雕塑家在长途车上被谋杀了。车上有好几个人都和他有售票员和他的女
朋友还有李四一起侦破。在8个小时的车程中，他们终于确定凶手是副司机。案
情明朗后，凶手试图将车冲下悬崖，但在司机的帮助下，大家齐心制服了凶手，
转危为安。

　　假如我们把“女画家”换成“雕塑家”，把“飞机”换成“长途车”等等，
这两个故事是不是就完全一样了呢？同构也是如此。同构就是一个函数，它是满
射，同时被它映过去的东西和我们原本的东西都满足“我们关心的性质”（在上
面的故事中我们关心的是什么呢？是故事的结构，即“…在…上被谋杀了”“…
侦破了案件”这些性质）。
　　如果两个结构是同构的，那么我们称它们在结构上是等同的。（例子来源于
郝兆宽与杨睿之的《数理逻辑》）

　　让我们再来考虑下几何中的“相等”。
　　在平面几何中，我们什么时候称两个图形是“相等”的呢？想想全等的概念。
对了，就是在不改变形状的情况下一个图形能够平移到另一个图形上，它们能
“重叠”到一起。这就是我们在平面几何中关心的性质。所以，即使两个图形位
置是不同的，可是只要符合了上面的条件，我们仍称它们为“相等”。
　　在平面几何中，图形之间的比例关系在“相等”的意义下是保持不变的。可
是在射影几何中就不一样了。在射影几何中，我们所关心的是一个图形经由“射
影”后到另一个平面上的性质（例如你和你的经太阳光穿过你的边缘而映出的影
子）。在这之中，比例关系就可能随射影的角度的不同而变化。
　　平面几何中的移动我们成为刚性的，即不改变形状的。可是拓扑中的变形却
又不一样了。在拓扑中，我们可以随意地拉、扭曲甚至压扁一个图形或体，只要
不违反某些条件（例如，可能是不让它的“里面”变成“外面”。例如你剪开一
个纸带让后然它平铺开来，就让它的“里面”变成“外面”了）。所以，我们可
以说一个易拉罐和你把它压扁后的那坨东西在拓扑学中是“相等”的。我们甚至
可以说“茶杯”和“甜甜圈”在拓扑学中是“相等”的。

　　从这个意义上说，几何就是研究“变化中的不变”的一门学科。这就是德国
数学大师F.Klein在第一届世界数学大会上提出的著名的“埃尔郎格纲领”。

　　而丘成桐、阿蒂亚等数学大师喜欢说的就是“物理就是几何”，我们可以看
到，牛顿力学中的作为向量与平行四边形的力，爱因斯坦力学就是闵可夫斯基几
何，我们生活的空间就是黎曼空间，现代物理中的弦论甚至能与26维的卡拉比-
丘成桐空间联系起来。