闲论Atiyah-Singer指标定理（2）─雅俗两故事，AS定理的实质

AS指标定理果真有所称之奇妙威风？无有夸大暗炒之嫌？

要回答这些问题，我们必须了解AS指标定理讲了些什么。

先让我们讲一个小故事。听鼓。

晨钟暮鼓，寺庙常规。据说，一般和尚都能够根据钟鼓之音得知钟鼓是否完好，有的高僧则可以由钟鼓之音得知气候演变进而推得世道之走向，小则为善男信女解疑释惑，指点迷津，大则为皇室社稷消灾引福，护国安民。却说明朝初年，五台山因为助开国君朱元璋有功，获皇上特别褒扬恩赐，名号高出少林一等，住持乃率众弟子在练功场内，连日大作法事以庆祝之。场面异常壮观。仅大鼓黄钟就各有百余。一日，礼至中途，突然方丈大叫停止。发生何事？原来，老方丈听出其中有两面大鼓有破洞，其中一面有一个破洞在鼓底，另一面鼓则有两个破洞，一上一下。方丈高声叫停，缘自破鼓之音为寺庙之大忌，必得避之。仔细检视，小和尚果然在两面大鼓上找出了那几个小小破洞。

高僧凭借鼓音，即可得知鼓面必有破洞数处，何也？

再来讲第二个小故事。听床。

却说华北地域，短江学者老家，民风淳朴，某些方面却也相当开放。听床就是一个例子。说得直白一点，就是在夜晚躲在别人家墙根、窗下，偷听别人做爱。此种习俗源自何时，无从考证，但依该地史志，历代从无明令禁绝，（唯在某朝恐怖时期，听床是流氓罪可能判死刑，但犯案被逮者鲜见──谢谢LXS老师指出此点）。听床不光没有官家法律之束，那些能够经常播出爱事特别报导而又从未被逮的高手们反而会被当地人民视为楷模备享尊荣。近一段时间，骄人的听床经验甚至是某"先锋队员"的一个隐含的考项，因为听床高手既要牺牲睡眠，还要不怕夜深人静，更要定力足够在关键时刻不出声不失控；而这绝非易事，因为做爱者往往在猜到有人偷听时，会故意弄出特别撩人之声音以刺激偷听者，迫其失控而自曝其踪。对于听床失控者的惩罚相当严厉，轻则遭被听者逮住猛揍，不得还手，日后常常遭到街坊老小公开奚落，甚至终身受人戏谑，重则被当地人视为做事不牢，信用全无。听床高手每每会将新近故事添油加醋细细道来，既博得烧酒一壶，还乘机用淫语骚扰纯情女孩，或藉此与淫妇打情骂俏，更以其定力之高，扬名立万于社区。据说，有能"听"清床垫缺几根弹簧的高手，有的还能指出所缺弹簧之前后左右位置，更有甚者，可以判断出前夜因爱事力度过猛而失效的弹簧，事后乡邻率众到主家翻床验证，竟然完全相符。每当如此场合，街坊如同过节，真笑声杂合假骂声，响彻邻里，和谐社会模范单位之锦旗，势在必得，听床师则荣加一等，气宇轩昂，旁的人也大拍手掌，作雀跃状。

偷窥者或听床师从嗤呀之声，即可得知床垫弹簧少了数根，何也？

法鼓破一个洞，声音不同，床垫少一根弹簧，嗤呀之声改变。列位看官可能未曾料到，上面这两个小故事，简单明了，妇孺皆懂，却道尽了AS指标定理之全部精义。

原来，不论是鼓面的振动，还是床垫的嗤呀，都满足一个微分方程，我们听到的声音就是这个微分方程的解。解不同，声音就不同，翻译成黑话就是边界条件不同，微分方程的解或曰微分算子的谱就会改变。边界条件包括鼓面，床垫的几何形状，更包括它们的拓扑结构（如洞的数目）。AS就是说，从听到的鼓音或床垫的嗤呀声就知道鼓面的几何以及上面的破洞数，或床垫的形状以及弹簧少了几根。看到这，学过高中物理的人可能觉得一点都不怪：我们不就是从原子分子的光谱得知原子分子结构的吗？这里不就是将通名报姓者从原子分子换成鼓号或床垫而已？其实这离正确答案真的只差一点点了！再想一想，你说不定就此悟出一条更大的真理呢。

对，polik在这里公布自己一个难以启齿的毛病。在下能从声音准确听出女孩子的容貌来，已经屡试不爽，一度很担心自己是不是有色狼基因，问过一些医师。因此，我看到AS定理以后，心理共鸣可想而知，马上就作了一个推广。

不过我得承认我的推广有些中医风格了。至于郎中听出怀孕、疾病的鬼话则已众所周知纯属骗术。（后面将更详细解释）

数坛人士就是一群无聊的好事者，专门将一些简单得不能再简单的事实用一些大家都摸不着头脑的句子表达出来。听鼓听床的事，到数学家那里就被弄成如下鬼话式的诀语：

（某些）微分方程的解（的数目）由定义该微分方程的空间的几何拓扑特征全部决定。或更简单地讲，一个空间中某些行为好的微分方程的解的数目是一个拓扑不变量。

这就是指标定理的全部内容。

可见，列位看官其实都已经知道AS，更懂得利用AS，因此AS不光不神秘，简直就是BS。