送交者: BerkeleyWolf 于 2006-6-07, 18:56:58:
回答: 关于冯·诺伊曼是严格意义的数学家和计算机学家的证明(2) 由 BerkeleyWolf 于 2006-6-07, 18:52:01:
冯·诺伊曼同学在应用粹数学上的贡献
1940年以后，随着第二次世界大战中政治、经济和军事形势的发展，冯·诺伊曼开始把精力更多地投注于实际问题之中，主要是计算数学和对策论两方面的工作．
1．计算数学
冯·诺伊曼认为，描述物理现象的方程一旦用数学语言给予表达，就可以从数值上得到解决而无须借助于常规方法或进行重复试验．他在计算数学方面的努力，是与他的这种观点以及解决实际问题的困难程度分不开的．
大战中，各种技术问题引起了快速估计和逼近解的需要．这些问题往往涉及一些不能忽略或分离的外部扰动，必须借助数值方法进行定性分析．冯·诺伊曼从数值稳定性分析、误差估计、矩阵求逆和含间断性解的计算等数个方向进行了探索．1946年，他和V．巴格曼(Bargmann)、D．蒙哥马利(Montgomery)合作．向海军武器实验室提交了报告“高阶线性系统求解”(Solutionof linear systems of high order)，对线性方程组的各种解法进行了系统阐述，并探讨了利用计算机进行实际求解的可能性． 1947年，他又同H．哥德斯坦(Goldstine)研究了高阶矩阵的数值求逆，并给出严格的误差估计，特别是对150阶矩阵求逆所能达到的精确程度给出了有意义的结果．
在解决可压缩气体运动尤其是存在间断性的情况时，冯·诺伊曼创始了人工粘性法．这种在计算公式中人为加入“粘性”项的方法，使激波间断成为光滑的过渡区，激波的位置与强度便很容易确定了．人工粘性法是现代流体动力学中拉格朗日方法的第一个例子，提供了在电子计算机上对流体力学进行数值模拟的有力手段．
电子计算机产生之后，冯·诺伊曼又推出了利用计算机进行数值分析的新思想、新方法，从而推动了计算数学的兴起与形成，也使他成为现代科学计算的奠基人之一．
2．对策论与数理经济
冯·诺伊曼是对策论(又称博弈论)的创始人和现代数理经济学的开拓者之一．本世纪20年代，波莱尔最早用数学语言刻画了博弈问题，引进纯策略与混合策略的概念，并提出解决个人对策与零和二人对策的数学方案．但是，对策理论作为学科的真正创立，则是从冯·诺伊曼1928年发表“关于伙伴游戏理论”(Zur The－orie der Gesellschaftsspiele)开始的．
文中最重要的结论，是关于零和二人对策的极小极大定理(minimax theorem).以极小极大定理为依据，冯·诺伊曼首先讨论了合作对策问题，特别是零和三人对策中有两方联合的情形．为了给出合作对策解的概念，他引入特征函数的思想．最后又明确表述了n个游戏者的一般博弈方案，结果表明：在附加条件下，n人对策问题的解是存在并且唯一的．
极小极大定理是对策论的基石．30年代，冯·诺伊曼本人及其他数学家陆续给出此定理的一些新的证明方法．到了40年代，A．瓦尔德(Wald)以极小极大定理为基础，把决策过程视为人与环境进行的二人对策问题，由此开创了统计决策理论．从那时起，对策论成为应用数学中一个活跃的研究领域．
1940年，奥地利经济学家O．摩根斯坦(Morgenstern)来到普林斯顿，他使冯·诺伊曼对经济问题特别是货物交换、市场控制和自由竞争等产生兴趣．经过四年的合作，他们出版了《对策论与经济行为》 (Theory of games and economic behavior)．这部著作对1928年的论文进行了进一步阐述，如增加了“分配”(imputa-tion)、“控制”(domination)的概念，定义了冯·诺伊曼-摩根斯坦解．全书有近三分之二的篇幅是处理合作对策问题的．
对策论在经济理论基本问题中的应用，是书中另一重要成果．他们认为，尽管当时的经济学还处于发展早期——如同16世纪的物理学，但最终它必将也像物理学一样，发展成为一门严密的数理科学．而对策论就是迈向综合性的数理经济学的第一步．这实际上体现了冯·诺伊曼将社会科学也纳入公理化数学体系的愿望．
早在1932年普林斯顿举办的一次学术讨论会上，冯·诺伊曼还讨论了一般经济平衡的模型化问题．他给出货物生产与消费的一个经济模型，并指出了模型问题与极小极大定理的密切关系：当把经济活动视为零和对策问题时，经济模型的平衡点就是对策问题中的极大极小值v．
物理学的贡献
冯·诺伊曼的眼光并未只局限于数学方面，他对物理科学同样有着浓厚的兴趣．可以说，对数学和物理学之间内在联系的探讨，在他的科学成就中具有最重大的意义．前面提到的算子理论和遍历理论等，实质上都与他在理论物理领域的工作——量子力学的数学化密不可分．
1926年，冯·诺伊曼来到格丁根大学．他在跟随希尔伯特研究数学基础的同时，被格丁根大学内正在开展的量子力学工作深深吸引住了．当时的量子力学在数学上有两种表述体系：W．海森堡(Heisenberg)、M．玻恩(Born)和W．泡利(Pauli)从微观粒子的粒子性出发建立的矩阵力学，E．薛定谔(Schrdinger)从波动性出发建立的波动力学．对于推测原子的性质这一实用目的来说，这两种体系是足够的．不久，薛定谔又证明了两者的等价性，并归结为由P．狄拉克(Dirac)和P．约当(Jordan)发展的变换理论的特殊情形．但是，冯·诺伊曼等人对此并不满意，他们希望从中提取更多的共性，建立量子力学的形式化体系．
这年冬天，希尔伯特就量子力学的新发展作了一次演讲，L．诺德海姆(Nordheim)为讲义的物理部分准备了材料，而关于数学形式化部分的主要工作，则是由冯·诺伊曼完成的．
量子理论的一个基本点，是原子状态的数学描述．冯·诺伊曼对此并未明确定义，而是给予了形式化的处理：原子的状态由希尔伯特空间中的单位向量表征．这正如希尔伯特对欧氏几何进行形式化时，把点、直线作为不定义术语一样．冯·诺伊曼指出，这种描述同海森堡和薛定谔的定义是一致的，而且代数中的形式规则如加法、乘法规则，对他们的表述体系同样适用．
他又构造了基于五条公理之上的抽象希尔伯特空间，并证明海森堡和薛定谔的原子状态定义满足五条公理．最后的结论是：量子力学的一种合适的形式语言，由抽象希尔伯特空间的向量(代表系统状态)、某类算子(代表系统中的可观察量)及其代数规则构成．
这些方法极好地体现了希尔伯特的公理化纲领，成为量子力学数学化的序曲，也促使冯·诺伊曼对希尔伯特空间的算子理论给予了充分的发展．
1932年，他的名著《量子力学的数学基础》由德国斯普林格公司出版．这是对先前的方法和结论的综合与完善．他特别指出，狄拉克等人在处理算子的概念时，对其定义域和拓扑并未予以充分考虑，草率地假设当算子为自共轭时，总可以被对角化．而对于无法对角化的，则引入狄拉克非正常函数(δ函数)的概念．冯·诺伊曼发现了它的自相矛盾的性质，并用自己的成就证明：变换理论能够建立在清晰的数学基础之上．其方法并非去修正狄拉克的理论，而是发展希尔伯特的算子理论．当他成功地将算子谱论由有界推广到无界情形后，便最终完成了量子力学的形式化工作，它包含海森堡和薛定谔等人的体系作为特殊情况．
书中另一个主要内容，是从统计学角度阐述了量子力学中的“因果律”(causality)和“测不准原理”(indeterminacy)．他的结论是，量子系统的不确定性并非由于观察者的状态未知所致．即使在系统中引入假想的“隐参量”(hidden parameters)，使观察者处于精确的状态，最终仍会因为观察者的主观意识而导致不确定的观察结果．这种观点得到了大多数物理学家的赞同．
此书还包括了对量子力学中特殊问题的解决，例如遍历假设在量子系统中的表述和证明．这成为他后来开辟的遍历理论的先声．
《量子力学的数学基础》(德文版)先后被译为法文(1947年)、西班牙文(1949年)、英文(1955年)和日文，它至今仍是理论物理领域的经典之作．
1927年，冯·诺伊曼开始用概率术语对量子力学进行分析，引入统计矩阵U(现称为ρ矩阵)来描述各种量子状态的系统之集合．统计矩阵成为量子统计学的主要工具．而他关于量子力学的度量理论则为热力学的发展奠定了基础．