为什么扔棍子表面上能提高测量精度，008，gyro和我前面都提到了是用了更精密的仪器。我用下面的理想实验再细化一下。和whoami的分析类似，但概念上不同。

问题：只用一把最小刻度是1的尺子，用扔棍子的方法能不能把长3.1的棍子的长度测到任意精度。

假设：
1. 尺子是完美的，最小刻度是1，没有任何系统误差。
2. 棍子的长度真值是3.1，对做实验的人是个未知值。
3. 棍子的位置是完美的均匀分布，但是，和棍子长度的真值一样对做实验的人来说也是未知。

注1：其实只用一把尺子不可能产生完美的均匀分布，必然要用到更精确的仪器，但是为了避免象“但是结果的精度还是会比这个仪器的精度高“这样的争论，先做这个假设。
注2：在yuffie和007的分析里，假设了这个均匀分布对做实验人来说是已知的，下面会说到。

先概括一下扔棍子测长度的方法，用最简单的版本：把棍子随机得扔到尺子上，发现棍子有时候盖住3个刻度，有时候盖住4个。扔N次，计算4出现的比例p。因为每次读数只需要读整数3或者4，所以p没有仪器精度误差（不需要+-0.5）。p的随机误差根据中心极限定理会趋于0，所以这个结果可以达到任意精度（因为假设没有系统误差）。

p和棍子长度是什么关系？这个方法认为：N趋于无穷时，棍子的长度就是3+p。理论是这样的：因为棍子只盖住3或者4，所以长度是3+x，x未知。考虑棍子的左端A，它落在某个格子里，用B和C记格子的左右端点。3+x长的棍子要盖住4个刻度，A到C的距离AC必须小于x。假设A在BC里是均匀分布的，得到AC<x的概率是x，所以盖住4个刻度的概率也是x。因为实验测得这个概率是p，所以p是x的近似，增加N可以把误差任意减小。对长度是3.1的棍子，实验会测出p=0.1，算得长度是3.1。

前面是这个方法的实验操作和理论。

我的看法是：

1. 实验没有问题，关于实验误差的说法（比如说没有仪器精度误差）也没有问题。问题在于理论分析里用了A在BC里是均匀分布的假设。
2. 实验误差没问题的意思是：给定假设123，实验测到的p值是真值。
3. 但是，实验人在不知道真值的情况下，他也无法肯定p就是真值。这是为什么需要上面的理论部分。（没有这个理论部分，甚至都不知道p和长度是什么对应关系）。
4. 前面的理论里，如果没有A在BC里是均匀分布的假设，他无法证明p是真值。
5. 如果有A的概率分布的部分信息，上面的理论分析可以得到p和真值差异的数量级，这个就是这个测量方法的误差。

假设实验人用最小刻度0.2的新尺子L来验证A是不是均匀分布，有下面的结果：L把BC分成5个格子。反复扔棍子，会发现A落在每个格子的几率都是0.2。因为分辨率只有0.2，没法确定A在格子里的具体位置，所以没法获得更详细的概率分布。

用这个测到的分布去重复上面的理论分析，前面部分一样：扔棍子，因为棍子只盖住3或者4，所以长度是3+x，x未知。考虑棍子的左端A，它落在某个格子里，用B和C记格子的左右端点。3+x长的棍子要盖住4个刻度，A到C的距离AC必须小于x。我们需要算AC<x的概率，即P(0<AC<x)（实验测得的p就是这个概率）。

原来的分析假设A是均匀分布，这计算很简单。但现在知道的信息只有：

P(0<AC<0.2) = P(0.2<AC<0.4) = P(0.4<AC<0.6) = ... = P(0.8<AC<1) = 0.2

除非x刚好是0.2的倍数，没有办法精确计算P(0<AC<x)，只能近似。不管怎么近似，误差都是0.2的量级（新尺子的最小刻度），因为这个原因，这个方法达到的精度也只是尺子的精度。

一种近似是把p=P(0<AC<x)近似为

Floor(x/0.2)*0.2 + 0.1 (误差0.2)

因为Floor(x/0.2)*0.2 + 0.1和 x 的差别也是0.2的量级，这结果可以写成 x = p （+0.2量级的误差）。对3.1长的棍子，这结果可以写成3.1+-0.1，测量结果的误差和尺子的精度一个量级。

对长度3.1的棍子，x=0.1，要想准确算出P（0<AC<x)，新尺子L的精度至少要0.1，这也和经验一致。